Udowodnić równość arg

[look4me]

Udowodnj że \(\displaystyle{ arg(z_{1}*z_{2})=arg(z_{1})+arg(z_{2})}\)
W jaki sposób to zrobić ?

[Jopekk]

Posłużę się notacją: \(\displaystyle{ \sin\alpha+cos\alha=cis\alpha}\)
\(\displaystyle{ z=|z|cis\alpha w=|w|cis\beta}\)

\(\displaystyle{ zw=(|z|cis\alpha) (|w|cis\beta)=|z||w| cis(\alpha+\beta)}\) (to udowodnie poniżej, ale jest raczej dość oczywiste).

Zatem \(\displaystyle{ arg(zw)=\alpha+\beta=arg(z)+arg(w)}\).

\(\displaystyle{ cis\alpha cis\beta =(\cos\alpha+i\sin\apha)(cos\beta+ i\sin\beta)=
(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=
\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)=cis(\alpha+\beta)}\).

[max]

Weźmy dowolne \(\displaystyle{ z_{1}, z_{2}\in \mathbb{C}}\).
Niech:
\(\displaystyle{ \arg z_{1} = \varphi\\
\arg z_{2} = \psi}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ z_{1} = |z_{1}|(\cos \varphi + i\sin \varphi)\\
z_{2} = |z_{2}|(\cos \psi + i\sin \psi)\\
z_{1}\cdot z_{2} =\\
= |z_{1}||z_{2}|\cdot (\cos \varphi + i\sin \varphi)\cdot (\cos \psi + i\sin \psi) = \\
= |z_{1}\cdot z_{2}|(\cos\varphi \cos\psi - \sin \varphi\sin \psi + i(\cos\varphi \sin\psi + \cos \psi \sin \varphi) = \\
= |z_{1}\cdot z_{2}|(\cos(\varphi + \psi) + i \sin (\varphi + \psi))}\)
Zatem \(\displaystyle{ \arg (z_{1}\cdot z_{2}) = \varphi + \psi = \arg z_{1} + \arg z_{2}}\)
c.b.d.o.

edit: drobny błąd

[look4me]

max o to chodziło Dzięki już rozumie