Rownanie do rozwiazania-liczby zespolone

[dudi999]

Witam
Moze ktos mi rozwiazac to rownanie:

\(\displaystyle{ z^{6}-2z^{3}+4=0}\)

Podstawiam \(\displaystyle{ z^{3}=x}\) wychodza mi dwa pierwsiastki \(\displaystyle{ 1+i\sqrt{2x}}\) i \(\displaystyle{ 1-i\sqrt{2x}}\) i co dalej?? Podstawilem spowrotem do tego \(\displaystyle{ z^{3}=x}\) i jak sprawic zeby wyszlo 6 pierwiastkow??

[liu]

Wykorzystac wzor na pierwiastki z liczby zespolonej.

[Rogal]

Trochu dziwnie wyliczasz te pierwiastki, skoro masz pod pierwiastkiem zmienną.

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ (z^3 -1)^2= -3}\),
tj
\(\displaystyle{ z^3 -1= \sqrt{3}i}\),
lub
\(\displaystyle{ z^3 -1= -\sqrt{3}i}\),

etc,.

[dudi999]

Nie czaje tego co napisales :/

[Piotr Rutkowski]

mol_ksiazkowy zwinął lewą stronę równania, a potem po prostu spierwiastkował obustronnie

[dudi999]

Ok dzieki


Zeby nie zakladac nowego tematu to mam jeszcze jedno rownanie


\(\displaystyle{ z^{6}-\frac{(-1+i\sqrt{3})^{2}(i-\sqrt{3})^{3}}{(\frac{\sqrt{2}}{4}+i\frac{\sqrt{2}}{4})^{4}}=0}\)

Moze trzeba tu to wszystko co jest do potegi zapisac pokolei w postaci trygonometrycznej i pozniej podniesc do potegi i pozniej mnozyc i dzielic??!! Czy jest jakis inny sposob na takie rzeczy.

Przy okazji mam jeszcze jedna rzecz w sumie to dwie:) Znalez pierwiastki rzeczywiste w zbiorze liczb zespolonych

\(\displaystyle{ w(x)=z^{3}-z+24}\)

\(\displaystyle{ w(x)=z^{4}-2z^{2}+3z-2}\)


Sorki ze tak mecze ale egzamin z matmy mi sie zbliza...

[Jopekk]

1)

\(\displaystyle{ z=(\frac{(2(cis\frac{2\pi}{3}))^{2}(2(cis\frac{5\pi}{6}))^{3}}{(\frac{1}{2}(cis\frac{\pi}{4}))^{4}})^{\frac{1}{6}}}\)=\(\displaystyle{ (\frac{4cis(\frac{4\pi+6k\pi}{3})8cis(\frac{15\pi+12k\pi}{6})}{\frac{1}{16}cis(\pi+2k\pi)})^{\frac{1}{6}}\)=\(\displaystyle{ (512cis(\frac{17\pi}{6}+2k\pi))^{\frac{1}{6}}=512^{\frac{1}{6}}cis(\frac{17\pi+12k\pi}{36})}\)

Podstawiamy odpowiednio k{0;1;2;3;4;5} by uzyskać szukane wartości.

2)

\(\displaystyle{ z^{3}-z+24=(z+3)(z^{2}-3z+8)}\)
\(\displaystyle{ z^{4}-2z^{2}+3z-2=(z+2)(z-1)(z^{2}+az+b)=(z^{2}+z-2)(z^{2}+az+b)}\)

Przyrównując współczynniki:

a+1=0; b+a-2=-2; b-2a=3;-2b=-2 -> b=1 & a=-1

Rzeczywiste pierwiastki znalazłem w kalkulatorze; ale można skorzystać z tw. o pierwiastkach wymiernych wielomianu albo zauważyć.

[dudi999]

Mozesz mi napisac skad w pierwszym przykladzie wzielo sie to 6kII 12kII i 2kII ?? Jakos nie czaje tego :/

[Jopekk]

Takie równanie ma sześć pierwiastków, żeby je otrzymać, trzeba zamienić nasze cisy w równaniu na: \(\displaystyle{ cis\alpha=\cis\alpha+2k\pi}\). To jest tak samo jak rozwiązywanie równań trygonometrycznych. Możesz sobie napisać \(\displaystyle{ (\cos(\alpha+2k\pi)+i\sin(\alpha+2k\pi))^{\frac{1}{2}}=\cos(\frac{\alpha+2k\pi}{2})+i\sin(\frac{\alpha+2k\pi}{2}).}\)

I potem jak już wszystko masz w najprostszej postaci, którą podnosisz do potęgi \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) to tam z tego \(\displaystyle{ 2k\pi}\) robi się inna postać i wyniki są identyczne ale np. dla k=0 i k=6; a różne dla k z przedziału {0;1;2;3;4;5}. I wtedy otrzymujesz wszystkie pierwiastki, które zapisane na wykresie Arganda są od siebie oddalone w tym przypadku o \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}}\).

A własności cisa masz w podpisie moim, ale to chyba każdy wie.

[Rogal]

Ciekawy ten zapis z cisem, tylko że pierwszy raz się z nim spotykam. I muszę powiedzieć, że chyba dlatego, że jakoś jestem tradycjonalistą i wyznawcą zasady brzytwy Ockhama ; )

[liu]

Hmm, ale ta funkcja Taxus_baccata(alfa) to sie oznacza po prostu \(\displaystyle{ e^{i\alpha}}\)