Potęgowanie liczy zespolonej

[radzym94]

Witam. Z racji tego, że przygotowuję się właśnie do kolokwium, mam pytanie odnośnie potęgowania liczb zespolonych.Ogólnie nie mam problemu z potęgowaniem, jednak teraz trafił się taki przykład , że wolałem zapytać.
Załóżmy, że liczymy 15 potęgę liczby zespolonej \(\displaystyle{ Z}\) o module \(\displaystyle{ 2}\). Otrzymujemy następnie po podstawieniu do wzoru de Moivre'a, taki zapis:

\(\displaystyle{ Z^{15}=2^{15}\left( \cos \ \left( 15 \cdot \frac{5}{6} \pi \right) + j \cdot \sin \left( 15 \cdot \frac{5}{6} \pi \right) \right)}\)

Po uporządkowaniu zapisu otrzymujemy:

\(\displaystyle{ Z^{15}=2^{15}\left( \cos \left( \frac{75}{6} \pi + j \cdot \sin \left( \frac{75}{6} \pi \right) \right)}\)

\(\displaystyle{ Z^{15}=2^{15}\left( \cos \left(12\frac{1}{2} \pi \right) + j \cdot \sin \left( 12 \frac{1}{2} \pi \right) \right)}\)


\(\displaystyle{ Z^{15}=2^{15}\left( \cos \left(12 \pi +\frac{1}{2} \pi \right) + j \cdot \sin \left( 12 \pi + \frac{1}{2} \pi \right) \right)}\)

I tutaj pada moje pytanie. Czy mogę już teraz wziąć zredukowane równanie w postaci:

\(\displaystyle{ Z^{15}=2^{15}\left( \cos \frac{1}{2} \pi + j \cdot \sin \frac{1}{2} \pi \right)}\) I rozwiązywać dalej dla wartości \(\displaystyle{ \sin \frac{1}{2} \pi}\) i \(\displaystyle{ \cos \frac{1}{2} \pi}\)

A może muszę redukować to dalej i zapisać to w postaci dla 2 ćwiartki układu:

\(\displaystyle{ Z^{15}=2^{15}\left( \cos \left( \pi -\frac{1}{2} \pi \right) + j \cdot \sin \left( \pi - \frac{1}{2} \pi \right) \right)}\) i teraz wziąć dopiero \(\displaystyle{ \sin \frac{1}{2} \pi}\) i \(\displaystyle{ \cos \frac{1}{2} \pi}\) jednak wtedy rozwiązania będą się różniły znakami.

Będę wdzięczny za wszelkie sugestie.

[Gouranga]

nic nie musisz kombinować już, zredukowałeś i jest ok
tylko popraw zapis:
po 1. nie \(\displaystyle{ j}\) tylko \(\displaystyle{ i}\)
po 2. nie \(\displaystyle{ *}\) tylko \(\displaystyle{ \cdot}\)
po 3. tu: \(\displaystyle{ Z^{15}=2^{15}\left( cos\left( \frac{75}{6} \pi + j*sin\left( \frac{75}{6} \pi \right) \right)}\) masz nierówną ilość "przedwiasów i zawiasów" (że tak zacytuję pewnego człowieka)

[radzym94]

U nas na zajęciach oznaczaliśmy "j" jako jednostkę urojoną , stąd moje "j" , a reszta to faktycznie moje niedopatrzenie , masz rację Dziękuję za odpowiedź
Czyli reasumując: Nie muszę zawsze na siłę szukać możliwości zastosowania wzorów redukcyjnych. Czasami mogę po prostu od razu uzyskać kąt z pierwszej ćwiartki układu i liczyć dalej, tak?

[Gouranga]

tak, wzory redukcyjne nie są tu potrzebne do niczego, jedyny fakt jaki musisz znać to
\(\displaystyle{ \sin (2k\pi + \varphi) = \sin \varphi}\)
i to samo dla cosinusa