\(\displaystyle{ z=\left( \frac{1+i}{1-i\sqrt{3} }\right)^{40}}\)
Obliczyłem moduł z liczby zespolonej, ale cos i sin nie wychodzą mi wartością żadnego znanego mi kąta dlatego nie wiem jak zastosować wzór Moivre'a(jeśli się nie mylę). Jak inaczej się za to zabrać?
PS. plus taki przykładzik bo w edytowanym poscie raczej nikt go nie zobaczy w poprzednim temacie : ) \(\displaystyle{ z= \left( 1+\cos \frac{ \pi }{8}-i\sin \frac{\pi}{8} \right) ^{2000}}\)
Potęga liczby zespolonej
-
Shadiiist
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 11 lis 2014, o 18:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Śląsk
- Podziękował: 16 razy
Potęga liczby zespolonej
Ostatnio zmieniony 15 sty 2015, o 23:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Potęga liczby zespolonej
\(\displaystyle{ 1+i= \sqrt{2} (\cos \frac{ \pi }{4} +i \sin \frac{ \pi }{4} )}\)
\(\displaystyle{ 1-i \sqrt{3} = 2 (\cos \frac{ -\pi }{3} +i \sin \frac{ -\pi }{3} )}\)
\(\displaystyle{ \frac{1+i}{1-i \sqrt{3}} = \frac{1}{ \sqrt{2} } (\cos \frac{ 7\pi }{12} +i \sin \frac{ 7\pi }{12} )}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{1+i}{1-i \sqrt{3}}\right)^{40} = \left( \frac{1}{ \sqrt{2} } (\cos \frac{ 7\pi }{12} +i \sin \frac{ 7\pi }{12} ) \right)^{40} =......}\)
\(\displaystyle{ 1+\cos \frac{ \pi }{8} -i\sin\frac{ \pi }{8} =2\cos ^2 \frac{ \pi }{16}-i 2 \sin\frac{ \pi }{16} \cos \frac{ \pi }{16}=2\cos \frac{ \pi }{16}\left[ \cos \frac{ \pi }{16}-i\sin \frac{ \pi }{16}\right]=\\=
2\cos \frac{ \pi }{16}\left[ \cos \frac{ -\pi }{16}+i\sin \frac{ -\pi }{16}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left( 2\cos \frac{ \pi }{16}\left[ \cos \frac{ -\pi }{16}+i\sin \frac{ -\pi }{16}\right] \right) ^{2000} =(2\cos \frac{ \pi }{16}) ^{2000}\left[ \cos ( -125\pi) +i\sin (-125\pi )\right]=\\=.....}\)
Ps. \(\displaystyle{ \cos \frac{ \pi }{16}= \frac{ \sqrt{2+ \sqrt{ 2+\sqrt{2} } } }{2}}\)
\(\displaystyle{ 1-i \sqrt{3} = 2 (\cos \frac{ -\pi }{3} +i \sin \frac{ -\pi }{3} )}\)
\(\displaystyle{ \frac{1+i}{1-i \sqrt{3}} = \frac{1}{ \sqrt{2} } (\cos \frac{ 7\pi }{12} +i \sin \frac{ 7\pi }{12} )}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{1+i}{1-i \sqrt{3}}\right)^{40} = \left( \frac{1}{ \sqrt{2} } (\cos \frac{ 7\pi }{12} +i \sin \frac{ 7\pi }{12} ) \right)^{40} =......}\)
\(\displaystyle{ 1+\cos \frac{ \pi }{8} -i\sin\frac{ \pi }{8} =2\cos ^2 \frac{ \pi }{16}-i 2 \sin\frac{ \pi }{16} \cos \frac{ \pi }{16}=2\cos \frac{ \pi }{16}\left[ \cos \frac{ \pi }{16}-i\sin \frac{ \pi }{16}\right]=\\=
2\cos \frac{ \pi }{16}\left[ \cos \frac{ -\pi }{16}+i\sin \frac{ -\pi }{16}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left( 2\cos \frac{ \pi }{16}\left[ \cos \frac{ -\pi }{16}+i\sin \frac{ -\pi }{16}\right] \right) ^{2000} =(2\cos \frac{ \pi }{16}) ^{2000}\left[ \cos ( -125\pi) +i\sin (-125\pi )\right]=\\=.....}\)
Ps. \(\displaystyle{ \cos \frac{ \pi }{16}= \frac{ \sqrt{2+ \sqrt{ 2+\sqrt{2} } } }{2}}\)