Potęgowanie liczby zespolonej

[mto9]

Muszę obliczyć:
\(\displaystyle{ \left( \frac{ \sqrt{3} + i}{-1 - i} \right)^{21}}\)
Dochodzę do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{-1- \sqrt{3} }{2} + \left( \frac{ \sqrt{3}-1 }{2} \right)i}\)
Następnie przechodzę na postać trygonometryczną i podnoszę do potęgi 21:
\(\displaystyle{ \sqrt{2} ^{21}\left( cos( \frac{ \pi }{4}) + i sin( \frac{ \pi }{4} ) \right)}\)
Teraz przechodzę na postać ogólną i dostaje:
\(\displaystyle{ 1024+1024i}\)
A prawidłowy wynik to:
\(\displaystyle{ -1024-1024i}\)
Nie mogę dojść skąd te minusy Gdzie robię błąd?

[kerajs]

\(\displaystyle{ \frac{-1- \sqrt{3} }{2} + \left( \frac{ \sqrt{3}-1 }{2} \right)i}\)
Następnie przechodzę na postać trygonometryczną i podnoszę do potęgi 21:
\(\displaystyle{ \sqrt{2} ^{21}\left( cos( \frac{ \pi }{4}) + i sin( \frac{ \pi }{4} ) \right)}\)
(...)Gdzie robię błąd?

W tej części której nie napisałać ukrytej pod sformułowaniem : Następnie przechodzę na postać trygonometryczną i podnoszę do potęgi 21.
Może źle określiłaś tę postać, lub żle pomnożyłaś kąt, lub źle uprościłaś kąty aby były w pierwszym okresie, lub..... .

[SlotaWoj]

Argument potęgowanej liczby zespolonej jest równy \(\displaystyle{ \frac{11}{12} \pi}\) (a nie \(\displaystyle{ \frac{1}{12} \pi}\) — cosinus argumentu musi być ujemny, bo część rzeczywista liczby to: \(\displaystyle{ \frac{-1- \sqrt{3} }{2}}\) ) i trygonometryczna postać potęgi wygląda tak:

• \(\displaystyle{ \left( \sqrt{2} \right) ^{21} \cdot \left( \cos \left( 21 \cdot \frac{11}{12} \pi \right) + i \cdot \sin \left( 21 \cdot \frac{11}{12} \pi \right) \right)}\)

Ponieważ: \(\displaystyle{ 21 \cdot \frac{11}{12} \pi \mod {2 \pi } = - \frac{3}{4} \pi}\) więc po uproszczeniu:

• \(\displaystyle{ \ 1024 \sqrt{2} \cdot \left( \cos \left( - \frac{3}{4} \pi \right) + i \cdot \sin \left( - \frac{3}{4} \pi \right) \right) = - 1024 - 1024 \cdot i}\)