Liczby zespolone i jednostka "i"

[michalalex132]

Witam.

Wiadomo, że liczbę zespoloną można przedstawić w postaci:

\(\displaystyle{ z = x + yi}\)

gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest częścią rzeczywistą, a \(\displaystyle{ y}\) - częścią urojoną.

Chciałbym zapytać, dlaczego częścią urojoną nie jest \(\displaystyle{ yi}\) i do wzoru na moduł:

\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{x^2 + y^2}}\) nie podstawiam za \(\displaystyle{ y^2}\) wartości\(\displaystyle{ (yi)^2}\) ? Albo np. przy dodawaniu / odejmowaniu / mnożeniu czy dzieleniu liczb zespolonych uwzględniam jednostkę i" - dlaczego wtedy tego "i" nie mogę pominąć, aby moje działania były takie:

\(\displaystyle{ z_1\cdot z_2 = x_1\cdot x_2 + y_1\cdot y_2}\) ?

[wiedzmac]

Najprostsza odpowiedź jest taka, że nie możesz pominąć bo tak są zdefiniowane działania na liczbach zespolonych.

Co do dodawania możemy sobie wyobrazić, że liczba zespolona to jest para liczb rzeczywistych, dlatego z jednostką urojoną "nic nie robimy", bo sumujemy po prostu odpowiednie elementy tej pary.

[michalalex132]

Ale skąd ja mam wiedzieć, kiedy powinienem dopisać "i" i uwzględniać to w obliczeniach ("i" do kwadratu daje -1), a kiedy mogę pominąć tę jednostkę?

[wiedzmac]

Liczysz po prostu tak jakby to były normalne liczby.
Przykładowo \(\displaystyle{ (a+bi) \cdot (c+di) = ac + adi + bci + bd \cdot i^2 = (ac-bd) + i \cdot (ad+bc)}\).
To nie jest coś co trzeba zapamiętać, traktuj to po prostu jak liczbę \(\displaystyle{ 3}\) czy \(\displaystyle{ 5}\).

[Kacperdev]

michalalex132, co do modułu. Spójrz na interpretacje graficzną modułu i wszystko stanie się jasne.

[michalalex132]

Czyli można powiedzieć, że w takim działaniu:


\(\displaystyle{ \left| z\right|i + Re(z) + Im(z) = 2i}\)

modułowi liczby zespolonej, który z natury jest liczbą rzeczywistą (bez części urojonej), nadaję cechę urojenia (przez to "i"), przez co przestaje być liczbą rzeczywistą, a jest częścią urojoną liczby zespolonej? Podobnie w przypadku \(\displaystyle{ Im(z)}\) - część urojoną liczby zespolonej urealniam, przez co jest teraz częścią rzeczywistą (bo nie ma już "i" i mogę ją dodać do normalnych liczb rzeczywistych w działaniu)?

[wiedzmac]

Mniej więcej. Trochę to dziwne, ale z definicji część urojona liczby zespolonej jest rzeczywista.

[michalalex132]

Czyli prawdą jest, że \(\displaystyle{ (Im(z)*i + Re(z)) = z = x + yi}\) ?

[wiedzmac]

Przyjmując twoje oznaczenia to tak.

[michalalex132]

Czyli tak naprawdę \(\displaystyle{ Im(z)}\) oznacza obliczenie modułu liczby zespolonej, w której część rzeczywista zostaje wyzerowana i \(\displaystyle{ Re(z) = 0}\)?

[wiedzmac]

Strasznie komplikujesz sobie życie.

\(\displaystyle{ Im(z)}\) to część urojona liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\), a moduł \(\displaystyle{ z}\) to \(\displaystyle{ \sqrt{ Im(z)^2 + Re(z)^2 }}\) - wynika to z twierdzenia Pitagorasa - narysuj sobie.