Rozwinięcie w szereg Taylora

[mwrooo]

Witam, w zadaniu mamy rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ f(z)=\text{e}^{iz}}\) w szereg Taylora w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ z_0=\frac{\Pi}{2}}\). Rozwiązałem to zadanie, ale po drodze nasuwa mi się pytanie, na które nie umiem do końca sobie odpowiedzieć, mianowicie:
Dlaczego nie ma takiej równości:\(\displaystyle{ \text{e}^{iz-\frac{\Pi}{2}}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(iz-\frac{\Pi}{2})^n}{n!}}\)? A może jest?

[Adifek]

Jest. Zauważ jednak, że można to zapisać zdecydowanie prościej, wyłączając \(\displaystyle{ e^{-\frac{\pi}{2}}}\) przed sumę

\(\displaystyle{ e^{iz -\frac{\pi}{2 }} = e^{-\frac{\pi}{2}}e^{iz} = e^{-\frac{\pi}{2}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(iz)^n}{n!} = e^{-\frac{\pi}{2}}\left[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!}\right]}\)

W ten sposób masz od razu rozwinięcia postaci trygonometrycznej

[mwrooo]

Okej, ale nie jest to oczywiście rozwinięcie funkcji \(\displaystyle{ \text{e}^{iz}}\) w pobliżu punktu \(\displaystyle{ z_0=\frac{\Pi}{2}}\) prawda?

[Adifek]

Prawda, to jest rozwinięcie w zerze. W \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) najłatwiej będzie rozwinąć rozwijając postać trygonometryczną - bo wiadomo ile będą wynosić pochodne

[mwrooo]

Wielkie dzięki za pomoc