wyznacz wszystkie wartości podanego pierwiastka

tommy007 · Post autor: **tommy007** » 4 cze 2007, o 19:02

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{1+i\sqrt{3}}}\)

Czy \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}}\) można zapisac w postaci\(\displaystyle{ 2(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})}\)a pote tą dwójkę "bezkarnie" wyrzucic?

Jopekk · Post autor: **Jopekk** » 4 cze 2007, o 19:15

Nie możesz.

\(\displaystyle{ (1+i3^{0.5})^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{1}{3}}(cis(\frac{\pi}{3}+2k\pi))^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{1}{3}}cis(\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3})}\)

Wstawiamy odpowiednio k=0,1,2, aby otrzymac trzy pierwiastki.

Oczywiście \(\displaystyle{ cis(\alpha)=\cos\alpha+i\sin\alpha}\).

tommy007 · Post autor: **tommy007** » 4 cze 2007, o 19:33

A skąd wiedziałes ze nalezy podstawic kąt 60 stopni???

Jopekk · Post autor: **Jopekk** » 4 cze 2007, o 19:40

\(\displaystyle{ 2(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=2(\cos(\frac{\pi}{3})+i\sin\frac{\pi}{3})=2cis(\frac{\pi}{3})=2cis(\frac{\pi}{3}+2k\pi)}\), gdzie k należy do całkowitych.

tommy007 · Post autor: **tommy007** » 4 cze 2007, o 20:07

serdeczne dzięki

[ Dodano: 4 Czerwica 2007, 21:24 ]
A czy wynik można zostawić np. w postaci: \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}(cos\frac{\Pi}{9}+isin\frac{\Pi}{9})}\)
Czy trzeba to jakoś przekształcić???

Jopekk · Post autor: **Jopekk** » 4 cze 2007, o 23:06

Można rozwiązanie zostawić w postaci trygonometrycznej, ale nie możesz zapomnieć o trzech pierwiastkach (k=0,1,2).