Rozwiąż równania

[tomciu1]

Witam,
czy ktoś mógłby rozwiązać mi równania poniżej?
a)\(\displaystyle{ z^{6}+1=0}\)

b)\(\displaystyle{ z^{2}+(2+i)z+2i=0}\)

c)\(\displaystyle{ 2z^{2}-(1-2i)z-i=0}\)

Odnośnie równania a) znalazłem coś

tylko nie rozumiem jak autor przekształcił \(\displaystyle{ -1}\) do postaci \(\displaystyle{ \cos \pi + i \sin \pi}\) skoro moduł wynosi \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{(-1)^2+0^2}=1}\) a więc
\(\displaystyle{ \cos\phi=\frac{x}{|z|}=\frac{-1}{1}=-1}\)
\(\displaystyle{ \sin\phi=\frac{y}{|z|}=\frac{0}{1}=0}\)

Dla tych wartości\(\displaystyle{ \alpha=\pi}\)
Dodatni jest tylko \(\displaystyle{ \sin}\) więc dla II ćwiartki \(\displaystyle{ \Phi=\pi-\alpha=\pi-\pi=0}\) a nie tak jak na podanej stonie \(\displaystyle{ \pi}\)
Co tutaj źle robię?

Co do równań b) i c)(bo są dość podobne) to rozwiązywałem je z delty ale w żadnym razie nie umiem uzyskać poprawnej odpowiedzi.
Liczę na szybką odpowiedź i z góry dzięki za pomoc.

[Gouranga]

a) postać trygonometryczna + wzor de Moivre'a
b) i c) delta, pokaż jak liczysz że ci nie wychodzi

---

a):
\(\displaystyle{ z^6 = -1\\
z = \sqrt[6]{-1}\\
-1 = \cos \pi + i \sin \pi\\
\sqrt[6]{-1} = \cos \frac{\pi + 2k\pi}{6} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{6} \quad k \in \ZZ}\)

[tomciu1]

a) takie rozwiązanie jest w linku, który podałem tylko tak jak napisałem nie wiem jak autor uzyskał taką postać trygonometryczną bo mnie wychodzi inna.

[Gouranga]

pogubiłeś się w swoich rozważaniach na temat II ćwiartki, to co policzyłeś że \(\displaystyle{ a = \pi}\) jest dobre
narysuj sobie sinus i cosinus w zakresie \(\displaystyle{ \langle -\pi ; \pi \rangle}\) i zobacz gdzie \(\displaystyle{ \sin = 0 \wedge \cos = -1}\), zauważysz, że w \(\displaystyle{ -\pi}\) i \(\displaystyle{ \pi}\) co w kątach skierowanych jest sobie równe

[tomciu1]

Dla przykładu równanie b) liczę tak:
\(\displaystyle{ z^2+(2+i)z+2i=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=(2+i)^2 -4\cdot1\cdot2i=4+4i-1-8i=3-4i}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=\sqrt{3+4i}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{3-4i}=x+yi}\)
\(\displaystyle{ 3-4i=(x+yi)^2}\)
\(\displaystyle{ 3-4i=x^2+2xyi-y^2}\)

\(\displaystyle{ x^2-y^2=3\\xy=-2\\x=\frac{-2}{y}\\(\frac{-2}{y})^2-y^2=3\\ \frac{4}{y^2}-y^2=3\\-y^4-3y^2+4=0\\\\t=y^2\\\\-t^2-3t+4=0\\\Delta=9-(3)^2-4\cdot(-1)\cdot4=25\\\sqrt\Delta=5\\\\t_1=\frac{3-5}{-2}=1\\t_2=\frac{3+5}{-2}=-4<0\\\\y^2=1 \\y_1=-1\\y_2=1}\)
\(\displaystyle{ x_1=\frac{-2}{-1}=2\\x_2=\frac{-2}{1}=-2\\ \sqrt\Delta=x+yi= \pm2-i}\)

No i właśnie nie za bardzo wiem co dalej. Skoro mam już pierwiastek z delty to powinienem policzyć pierwiastki. Tylko, że mam dwie delty o różnych znakach co daje 4 pierwiastki dla równania drugiego stopnia ale nawet jeśli je policzę to żaden nie pasuje do odpowiedzi.

-- 3 sty 2015, o 18:45 --

Gouranga mógłbyś jakoś jaśniej co do równania a)?
Skoro \(\displaystyle{ \alpha=\pi}\) to żeby w miejsce \(\displaystyle{ \Phi}\) dostać \(\displaystyle{ \pi}\) to musiało by być
\(\displaystyle{ \Phi=2\pi-\alpha}\) co prawdziwe jest dla IV ćwiartki, ale w niej wg. wierszyka cosinus jest dodatni?

[yorgin]

\(\displaystyle{ x^2-y^2=3\\xy=-2}\)

Widać z tego bez liczenia, że \(\displaystyle{ (x,y)=(2,-1)}\) lub \(\displaystyle{ (x,y)=(-2,1)}\), zatem

\(\displaystyle{ \sqrt{3-4i}=\{2-i,-2+i\}}\).

No i właśnie nie za bardzo wiem co dalej. Skoro mam już pierwiastek z delty to powinienem policzyć pierwiastki. Tylko, że mam dwie delty o różnych znakach co daje 4 pierwiastki dla równania drugiego stopnia ale nawet jeśli je policzę to żaden nie pasuje do odpowiedzi.

Dostajesz nie dwie delty, tylko dwa pierwiastki z delty. Te pierwiastki mają jednak to do siebie, że są symetryczne względem zera, tj \(\displaystyle{ 2-i=-(-2+i)}\), zatem we wzorze na pierwiastki trójmianu nic się nie zmieni - dalej otrzymasz dwa pierwiastki trójmianu zespolonego. Każdy pierwiastek z delty "produkuje" taką samą parę rozwiązań, jak drugi pierwiastek.

Skoro \(\displaystyle{ \alpha=\pi}\) to żeby w miejsce \(\displaystyle{ \Phi}\) dostać \(\displaystyle{ \pi}\) to musiało by być
\(\displaystyle{ \Phi=2\pi-\alpha}\) co prawdziwe jest dla IV ćwiartki, ale w niej wg. wierszyka cosinus jest dodatni?

Co to jest \(\displaystyle{ \Phi}\)? Nie mogę tego zrozumieć.

Skoro napisałeś już, że

\(\displaystyle{ \cos\phi=\frac{x}{|z|}=\frac{-1}{1}=-1}\)
\(\displaystyle{ \sin\phi=\frac{y}{|z|}=\frac{0}{1}=0}\)

Dla tych wartości \(\displaystyle{ \alpha=\pi}\)

to na tym etapie masz wyznaczony argument liczby zespolonej.

[tomciu1]

Ok. Co do równania b), yorgin to tak jak mówisz. Niby to wiedziałem. Tylko przez 2 dni nie mogłem znaleźć głupich błędów rachunkowych. Przeliczyłem teraz jeszcze raz i wyszło.-- 3 sty 2015, o 20:37 --Co do równania a) to już rozumiem .Dzięki