Rozwiązać równanie

[zolax]

Jak rozwiązać takie równanie wykorzystując postać wykładniczą liczby zespolonej:
\(\displaystyle{ (\overline z)^{2} \cdot |z|^{2} = \frac{4}{z^2}}\)

[a4karo]

Pomnóż przez \(\displaystyle{ z^2}\) pamiętając czym jest \(\displaystyle{ z\overline{z}}\)

[zolax]

Po wymnożeniu będzie:

\(\displaystyle{ (\overline z \cdot z)^{2} \cdot |z|^{2}z^{2} = 4}\)

czyli

\(\displaystyle{ |z|^{4} \cdot |z|^{2}z^{2} = 4}\)

Dobrze? Co dalej można z tym zrobić?

[a4karo]

Niedobrze. Od kiedy mnoży się oba czynniki?

[zolax]

Ups..
\(\displaystyle{ (\overline z \cdot z)^{2} \cdot |z|^{2} = 4}\)
czyli:
\(\displaystyle{ |z|^{4} \cdot |z|^{2} = 4}\)
Teraz jest ok?

[Gouranga]

dobrze pomijając fakt, że ciągle używasz \(\displaystyle{ *}\) zamiast \(\displaystyle{ \cdot}\)

[zolax]

Będę pamiętał co dalej mogę z tym zrobić, mogę zapisać jako?
\(\displaystyle{ |z|^{6} = 4}\)

[M Ciesielski]

Oczywiście.

[Gouranga]

Tak
Wiemy, że moduł jest liczbą rzeczywistą więc
\(\displaystyle{ |z|^6 = 4 \Rightarrow |z| = \sqrt[6]{4} = \sqrt[3]{2}}\)
i rozwiązaniem zadania jest zbiór:
\(\displaystyle{ \left\{z: \quad z \in \CC \wedge |z| = \sqrt[3]{2}\right\}}\)