Suma cosinusow

[leg14]

Witam.Mam policzyc taka sume:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{4} \cos \left( n \alpha \right)}\)
\(\displaystyle{ \alpha= \frac{2}{5}}\)
przeksztalcam :
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{4} \cos \left( n \alpha \right) =\sum_{n=1}^{4} Re\left[ \left(e^{i \alpha }\right)^{n}\right]=Re\sum_{n=1}^{4} \left(e^{i \alpha }\right)^{n}=Re\left[\left[e^{i \alpha }\right] \cdot \frac{1 -\left(e^{i \alpha }\right)^{4} }{1-e^{i \alpha }}\right]=Re\left[e^{i \alpha } \cdot \left(1+e^{i \alpha }\right) \cdot \left(1 +\left(e^{i \alpha }\right)^{2}\right)\right]}\)
Ale nie wiem jak i czy w ogole moge to wykorzystac.Z gory dziekuje za wszystkie odpowiedzi

[Premislav]

Można tak:
pomnóż i podziel tę sumę przez \(\displaystyle{ \sin \frac{\alpha}{2}}\). Następnie skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ \sin x \cos y=\frac 1 2\left(\sin(y+x)-\sin(y-x)\right)}\) i w liczniku powinna powstać suma teleskopowa.
Co do Twoich przekształceń, to są one poprawne, ale nie bardzo widzę, jak dalej otrzymać rozwiązanie w zwartej postaci.