Odległość oraz kąt liczby zespolonej

[Mondo]

Witam, analizuję przykład w którym obliczana jest odległość l.zespolonej od środka u.w oraz kąt jaki twory ona z osia liczb rzeczywistych.

\(\displaystyle{ z = \sqrt{3} - i}\)

Odległość to raczej prosta sprawa \(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{ 1^{2}+ 1^{2} } = \sqrt{2}}\)

Natomiast dlaczego w wzorze jest + podczas kiedy cześć urojona leży na ujemnej osi Im co widać zresztą w wzorze \(\displaystyle{ z = \sqrt{3} - i}\) ?

Druga kwestia to obliczenie kąta, samo obliczenie wartości sinusa jako \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2} }}\) nie wiele pomoże. Jak więc wyznaczyć dokładnie jego wartość ?

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{ 1^{2}+ (-1)^{2} } = \sqrt{2}}\)

powinno być, co nie zmienia wyniku

(patrzyłem tylko na znak, nie zauważyłem, że pierwszy czynnik źle zapisałeś...)

Kąt wyznaczasz z odpowiedniego układu rownan

[Mondo]

Kąt wyznaczasz z odpowiedniego układu rownan

Hmm, mógłbyś powiedzieć coś więcej, albo nawet lepiej zapisać ten układ ? Dzięki

[miodzio1988]

Taki układ na wiki znajdziesz, więc tam Cię odsyłam

[sebnorth]

\(\displaystyle{ |z| = \sqrt{\sqrt{3}^2 + (-1)^2} = 2}\)

jak widzę liczbę z w czwartej cwiartce to widzę trójkąt prostokątny o długościach przyprostokątnych \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) zatem tangens kąta przy dłuższej jest równy \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{3}}}\) czyli to bedzie kąt \(\displaystyle{ 30^{\circ}}\)
czyli argumentem liczby z będzie kąt \(\displaystyle{ 330^{\circ}}\)

[Mondo]

Odpowiedzią jest kąt \(\displaystyle{ - \frac{\pi}{6}}\), ale jak to zostało wyznaczone ?
Ja liczę tak:
\(\displaystyle{ sin(a) = \frac{-1}{ \sqrt{3}}}\), nastepnie liczac arcsin otrzymuje wartosc 0.61547... radianów co odpowiada 35.26 stopnią. Nie jak nie wychodzi \(\displaystyle{ - \frac{\pi}{6}}\), co jest nie tak ?

Taki układ na wiki znajdziesz, więc tam Cię odsyłam

Mogę prosić o odnośnik, konkretna nazwe ?

tangens kąta przy dłuższej jest równy \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{3}}}\)czyli to bedzie kąt \(\displaystyle{ 30^{\circ}}\)

Dzięki za odpowiedź, skąd \(\displaystyle{ 30^{\circ}}\) ?

czyli argumentem liczby z będzie kąt 330^{circ}

Jak to wyliczyłeś ?

Dzięki

[miodzio1988]

Liczby zespolone wikipedia

[sebnorth]

Jak narysujesz liczbę \(\displaystyle{ z}\) to będzie to punkt \(\displaystyle{ (\sqrt{3}, -1)}\) łączę go ze środkiem układu i to jest moja przeciwprostokątna. Przyprostokątna krótsza to będzie odcinek który łączy \(\displaystyle{ z}\) z jej rzutem na oś rzeczywistą. Policzyłem mniejszy kąt. Jak wiem, że \(\displaystyle{ 30}\) stopni to są możliwe odpowiedzi \(\displaystyle{ 330}\) stopni ale minus \(\displaystyle{ 30}\) stopni może nawet jest lepsze bo argument główny liczby zespolonej przyjmuje się często że należy do przedziału \(\displaystyle{ \langle -\pi; \pi)}\)

[Mondo]

Jak wiem, że \(\displaystyle{ 30}\) stopni to są możliwe odpowiedzi \(\displaystyle{ 330}\) stopni ale minus \(\displaystyle{ 30}\) stopni może nawet jest lepsze bo argument główny liczby zespolonej przyjmuje się często że należy do przedziału \(\displaystyle{ \langle -\pi; \pi)}\)

Hmm, ale czy 330 stopni należy do przedziału \(\displaystyle{ \langle -\pi; \pi)}\) ?
Druga sprawa to to że poprawna odp wynosi \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\), zdaje sie ze nikomu narazie tyle nie wyszło co ?

[miodzio1988]

Wychodzi. To jest poprawna odpowiedź. Narysuj sobie tę liczbę i zobaczysz to

[Mondo]

Faktycznie, czy to jest poprawne równanie na znalezienie kąta:

\(\displaystyle{ arctan(tan(- \frac{1}{ \sqrt{3} } ))}\) ?
Zwraca wynik -33.08

Dzięki.

[sebnorth]

\(\displaystyle{ 30}\) w mierze stopniowej to inaczej \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\) w mierze łukowej

[Mondo]

\(\displaystyle{ 30}\) w mierze stopniowej to inaczej \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\) w mierze łukowej

Oczywiscie ze tak ale jak obliczono to 30 stopni, czy mje równanie z postu wyzej jest prawidłowe, wychodzi mi tam -33.08 ?

[sebnorth]

użyłeś jakiegoś programu do obliczenia \(\displaystyle{ \arctan(- \frac{1}{ \sqrt{3} } )}\) ?

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \arctan(- \frac{1}{ \sqrt{3} } )= \frac{- \pi}{6}}\)