Obliczenie liczby zespolonej

[limesn]

Witam !
Pomoże ktoś z tym przykładem ?
\(\displaystyle{ z^{6}= \left( 2-2i\right) ^{4}}\)

[Medea 2]

Wzór de Moivre'a znasz? Może się przydać.

[athame]

Napocznę:
\(\displaystyle{ (2-2i)^4 = [(2-2i)^2]^2 = (4-8i-4)^2 = (-8i)^2 = 64i^2 = -64}\)

\(\displaystyle{ z^6 = -64}\)

[limesn]

\(\displaystyle{ -64=512\left( cos6\phi + isin6\phi\right)}\)
\(\displaystyle{ sin\phi=- \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ cos\phi= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
więc, \(\displaystyle{ \phi= \frac{7}{4}\pi}\)

Jedyne co mi teraz przychodzi do głowy, to :
\(\displaystyle{ -64=512\left( cos \frac{42}{4}\pi + isin \frac{42}{4}\pi \right)}\)
\(\displaystyle{ -64=512i}\)
I teraz coś takiego ? :
\(\displaystyle{ z= \sqrt[6]{512i}}\)
Dobrze/źle ? Jakaś wskazówka co dalej ?

[Medea 2]

A skąd Ci się to 512 wzięło? Piszesz \(\displaystyle{ z = r \exp(i \varphi)}\) i dalej:

\(\displaystyle{ z^6 = r^6 (\cos (6\varphi) i + \sin (6 \varphi)) = -64 + 0 i}\)

Teraz przyrównujesz części urojone i rzeczywiste... powodzenia!

~ JŚ

[athame]

Bzdury jakieś. Wszystkie pierwiastki tej liczby leżą na okręgu o promieniu 2 licząc od środka układu współrzędnych. Wartości \(\displaystyle{ 2i}\) oraz \(\displaystyle{ -2i}\) są widoczne gołym okiem. W przypadku pozostałych życzę powodzenia w liczeniu.