Wyznaczanie elementów pierwiastków na płaszczyźnie zespolone
-
- Użytkownik
- Posty: 96
- Rejestracja: 15 sty 2014, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 41 razy
Wyznaczanie elementów pierwiastków na płaszczyźnie zespolone
Witam!
Mam problem z następującym zadaniem:
Wyznacza i narysuj elementy pierwiastków na płaszczyźnie zespolone
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{-16}}\)
To zadanie wielokrotnie przewija się w różnych tematach, ale nie bardzo mogę dojść do tego co się skąd bierze i odpowiedzi czasami są trochę sprzeczne
Moje rozważania i próby rozwiązania:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z} = \sqrt[4]{\left| z\right| } \left( \cos\frac{ \alpha +2k \pi }{n} \right) + \left( i \sin \frac{ \alpha +2k \pi }{n} \right) \\
\left| z\right| = 16 \\
\sin \alpha = \frac{b}{\left| z \right| } = 0 \\
\cos \alpha = \frac{a}{\left| z\right| } = -1}\)
I od tego momentu zaczyna się plątać, bo nie wiem co dalej zrobić
Ktoś zechciałby wskazać drogę?
Pozdrawiam!
Mam problem z następującym zadaniem:
Wyznacza i narysuj elementy pierwiastków na płaszczyźnie zespolone
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{-16}}\)
To zadanie wielokrotnie przewija się w różnych tematach, ale nie bardzo mogę dojść do tego co się skąd bierze i odpowiedzi czasami są trochę sprzeczne
Moje rozważania i próby rozwiązania:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z} = \sqrt[4]{\left| z\right| } \left( \cos\frac{ \alpha +2k \pi }{n} \right) + \left( i \sin \frac{ \alpha +2k \pi }{n} \right) \\
\left| z\right| = 16 \\
\sin \alpha = \frac{b}{\left| z \right| } = 0 \\
\cos \alpha = \frac{a}{\left| z\right| } = -1}\)
I od tego momentu zaczyna się plątać, bo nie wiem co dalej zrobić
Ktoś zechciałby wskazać drogę?
Pozdrawiam!
-
- Użytkownik
- Posty: 117
- Rejestracja: 26 gru 2012, o 16:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 10 razy
Wyznaczanie elementów pierwiastków na płaszczyźnie zespolone
Wyznacz \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \sqrt[4]{\left| z\right| }=2}\), \(\displaystyle{ n=4}\), \(\displaystyle{ k \in \left\{ 0,1,2,3\right\}}\) i podkładaj do wzoru z kolejnymi \(\displaystyle{ k}\), wyjdą dokładnie 4 rozwiązania
-
- Użytkownik
- Posty: 96
- Rejestracja: 15 sty 2014, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 41 razy
Wyznaczanie elementów pierwiastków na płaszczyźnie zespolone
\(\displaystyle{ \alpha = \pi}\)
Skąd bierze się \(\displaystyle{ k \in \left\{ 0,1,2,3\right\}}\)
Ten kawałek przewijał się pomiędzy różnymi rozwiązaniami, tylko nie bardzo rozumiem skąd się wział
Skąd bierze się \(\displaystyle{ k \in \left\{ 0,1,2,3\right\}}\)
Ten kawałek przewijał się pomiędzy różnymi rozwiązaniami, tylko nie bardzo rozumiem skąd się wział
-
- Użytkownik
- Posty: 117
- Rejestracja: 26 gru 2012, o 16:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 10 razy
Wyznaczanie elementów pierwiastków na płaszczyźnie zespolone
\(\displaystyle{ \alpha}\) się zgadza
A co do \(\displaystyle{ k}\) to generalnie jak masz \(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}}\) i korzystasz z tego wzoru to \(\displaystyle{ k \in \left\{ 0,1,2,...,n-1\right\}}\)
A co do \(\displaystyle{ k}\) to generalnie jak masz \(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}}\) i korzystasz z tego wzoru to \(\displaystyle{ k \in \left\{ 0,1,2,...,n-1\right\}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 96
- Rejestracja: 15 sty 2014, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 41 razy
Wyznaczanie elementów pierwiastków na płaszczyźnie zespolone
Czy wyniki końcowe to:
\(\displaystyle{ z_{0} = 2 \sqrt{2} \\
z_{1} = z_{3} = 0\\
z_{2} = - 2 \sqrt{2}}\)
?
\(\displaystyle{ z_{0} = 2 \sqrt{2} \\
z_{1} = z_{3} = 0\\
z_{2} = - 2 \sqrt{2}}\)
?
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Wyznaczanie elementów pierwiastków na płaszczyźnie zespolone
Nie. Podnieś swoje pierwiastki do czwartej potęgi - która daje \(\displaystyle{ -16}\)?
Powinieneś dostać cztery różne liczby zespolone. Twoje zadanie to umiejętne użycie wzoru, tj podstawienie do niego.
Powinieneś dostać cztery różne liczby zespolone. Twoje zadanie to umiejętne użycie wzoru, tj podstawienie do niego.
-
- Użytkownik
- Posty: 96
- Rejestracja: 15 sty 2014, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 41 razy
Wyznaczanie elementów pierwiastków na płaszczyźnie zespolone
Zgubiłem \(\displaystyle{ i}\) we wzorze
Wersja poprawiona:
\(\displaystyle{ z_{0} = \sqrt{2} + i\sqrt{2} \\
z_{1} = \sqrt{2} - i\sqrt{2} \\
z_{2} = -\sqrt{2} - i\sqrt{2} \\
z_{3} = -\sqrt{2} + i\sqrt{2} \\}\)
Wersja poprawiona:
\(\displaystyle{ z_{0} = \sqrt{2} + i\sqrt{2} \\
z_{1} = \sqrt{2} - i\sqrt{2} \\
z_{2} = -\sqrt{2} - i\sqrt{2} \\
z_{3} = -\sqrt{2} + i\sqrt{2} \\}\)