Wyznaczanie elementów pierwiastków na płaszczyźnie zespolone

[Fidor]

Witam!

Mam problem z następującym zadaniem:
Wyznacza i narysuj elementy pierwiastków na płaszczyźnie zespolone
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{-16}}\)

To zadanie wielokrotnie przewija się w różnych tematach, ale nie bardzo mogę dojść do tego co się skąd bierze i odpowiedzi czasami są trochę sprzeczne

Moje rozważania i próby rozwiązania:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z} = \sqrt[4]{\left| z\right| } \left( \cos\frac{ \alpha +2k \pi }{n} \right) + \left( i \sin \frac{ \alpha +2k \pi }{n} \right) \\
\left| z\right| = 16 \\
\sin \alpha = \frac{b}{\left| z \right| } = 0 \\
\cos \alpha = \frac{a}{\left| z\right| } = -1}\)

I od tego momentu zaczyna się plątać, bo nie wiem co dalej zrobić

Ktoś zechciałby wskazać drogę?

Pozdrawiam!

[realityoppa]

Wyznacz \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \sqrt[4]{\left| z\right| }=2}\), \(\displaystyle{ n=4}\), \(\displaystyle{ k \in \left\{ 0,1,2,3\right\}}\) i podkładaj do wzoru z kolejnymi \(\displaystyle{ k}\), wyjdą dokładnie 4 rozwiązania

[Fidor]

\(\displaystyle{ \alpha = \pi}\)
Skąd bierze się \(\displaystyle{ k \in \left\{ 0,1,2,3\right\}}\)
Ten kawałek przewijał się pomiędzy różnymi rozwiązaniami, tylko nie bardzo rozumiem skąd się wział

[realityoppa]

\(\displaystyle{ \alpha}\) się zgadza
A co do \(\displaystyle{ k}\) to generalnie jak masz \(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}}\) i korzystasz z tego wzoru to \(\displaystyle{ k \in \left\{ 0,1,2,...,n-1\right\}}\)

[Fidor]

Czy wyniki końcowe to:
\(\displaystyle{ z_{0} = 2 \sqrt{2} \\
z_{1} = z_{3} = 0\\
z_{2} = - 2 \sqrt{2}}\)
?

[yorgin]

Nie. Podnieś swoje pierwiastki do czwartej potęgi - która daje \(\displaystyle{ -16}\)?

Powinieneś dostać cztery różne liczby zespolone. Twoje zadanie to umiejętne użycie wzoru, tj podstawienie do niego.

[Fidor]

Zgubiłem \(\displaystyle{ i}\) we wzorze
Wersja poprawiona:
\(\displaystyle{ z_{0} = \sqrt{2} + i\sqrt{2} \\
z_{1} = \sqrt{2} - i\sqrt{2} \\
z_{2} = -\sqrt{2} - i\sqrt{2} \\
z_{3} = -\sqrt{2} + i\sqrt{2} \\}\)

[yorgin]

Dobrze.

[Fidor]

Dziękuje