Interpretacja geometryczna modułu liczby zespolonej

[Fidor]

Witam!

Jak większość tu obecnych mam problem z zadaniem, od pewnego momentu nie wiem co robić dalej

Korzystając z interpretacji geometrycznej modułu różnicy liczb zespolonych wyznaczyć i narysować zbiór
\(\displaystyle{ \left| \frac{z-3i}{z}\right| > 1}\)

Zakładam z różne od zera

\(\displaystyle{ \left| \frac{z-3i}{z} \right| > 1 \\
\left| z-3i\right| > \left| z\right|}\)

I dalej nie bardzo wiem co zrobić
Idąc po omacku:

\(\displaystyle{ \left| z-3i\right| > \left| z\right| \\
\left| z-3i\right| > z \vee \left| z-3i\right| < -z \\
z-3i > z \vee -z+3i < -z \vee z-3i < -z \vee -z +3i > z \\
-3i<-2z \vee 3i > 2z \\
z < \frac{3i}{2}}\)

Proszę o jakieś wskazówki albo wskazanie ścieżki

Pozdrawiam!

[a4karo]

Straszny strach... nie da się porównywać liczb zespolonych, a moduł to nie \(\displaystyle{ \pm z}\) jak w przypadku liczb rzeczywistych.

Spróbuj doprowadzić nierówność do postaci \(\displaystyle{ |z-a|>b}\).

A.. i popraw treść zadania: moduł musi się zamykać przez znakiem nierówności.

[Fidor]

Już poprawione, latex sobie ze mnie zażartował
Faktycznie, o module sobie doczytałem

Jedyne co przychodzi mi do głowy to \(\displaystyle{ \left| z -3i\right| > \sqrt{a ^{2} +b ^{2} }}\)
To wciąż nie ma sensu, czy idę we właściwą stronę?

[a4karo]

Wsk: pomnóż obie strony przez \(\displaystyle{ |z|}\). Co to jest \(\displaystyle{ |z-3i|}\) ? Co to jest \(\displaystyle{ |z|}\) ? Na te dwa pytania odpowiedz słowami.

[Fidor]

\(\displaystyle{ \left| z\right|}\) to odległość liczby \(\displaystyle{ z}\) na płaszczyźnie zespolonej od środka układu współrzędnych
\(\displaystyle{ \left| z-3i\right|}\) to (chyba) odległość pomiędzy punktem przesuniętym o 3 jednostki w dół w stosunku do liczby \(\displaystyle{ z}\), a środkiem układu współrzędnych

[a4karo]

To drugie to odległośc od punktu \(\displaystyle{ 3i}\).

Dobrze. A co znaczy ta nierówność?

[Fidor]

Zatem chodzi o odnalezienie liczby, której odległość od \(\displaystyle{ 3i}\) jest większa niż odległość od środka układu współrzędnych, tak?

Kolejna próba rozwiązania:

\(\displaystyle{ \left| z-3i\right| > \left| z\right| \\
\sqrt{a ^{2} + \left( b-3\right) ^{2} } > \sqrt{a ^{2} + b ^{2} } \\
\left|b ^{2} -6b + 9 \right| > b ^{2} \\
b < \frac{3}{2}}\)

[a4karo]

Dokłądnie tak. Tyle,że tu nic nie trzeba liczyć. Wystarczy sobie narysować tę plaszczyznę, znależć te punkty, oraz zbiór punktów, których odległośc od nich jest równa, ten zbiór dzieli płaszczyznę na dwie części - wskaż właściwą.

Oczywiście jest to symetralna odcinka. Twoje rozwiązanie analityczne jest OK, ale treść zadania wymaga popatrzenia na własności geometryczne płaszczyzny.

[Fidor]

Dziękuje