Postać wykładnicza

[Speed094]

Znaleźć
\(\displaystyle{ z=r\cdot e^{i\phi}\\ \frac{2|z|^2z}{z^3}=2i}\)

Czyli mam
\(\displaystyle{ \frac{2r^2\cdot r\cdot e^{i\phi}}{r^3\cdot e^{3i\phi}}=2i}\) ?

[Gouranga]

Tak, teraz sporo można skrócić

[Speed094]

\(\displaystyle{ \frac{2r^2\cdot r\cdot e^{i\phi}}{r^3\cdot e^{3i\phi}}=2i\\
\frac{2e^{i\phi}}{e^{3i\phi}}=2i}\)

[Gouranga]

mało

\(\displaystyle{ \frac{2e^{i\varphi}}{e^{3i\varphi}}=2i\\
\frac{1}{e^{2i\varphi}} = i\\
\frac{1}{e^{2i\varphi}} = e^{\frac{i\pi}{2}}\\
1 = e^{\frac{i\pi}{2}} \cdot e^{2i\varphi}\\
e^0 = e^{\frac{i\pi}{2} + 2i\varphi}\\
0 = {\frac{i\pi}{2} + 2i\varphi\\}\)

dasz radę już dalej obliczyć \(\displaystyle{ \varphi}\)?

[Speed094]

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\)?

[Gouranga]

\(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}}\) bo przenosisz jeden składnik na lewo i dzielisz przez \(\displaystyle{ 2i}\)

czyli rozwiązaniem są \(\displaystyle{ z: \quad z \in \CC \wedge Arg(z) = -\frac{\pi}{4}}\)

[Speed094]

No ale chyba jest gdzieś błąd bo arg jest w zakresieod \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 2 \pi}\)

[Gouranga]

Speed094, \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}}\), o kątach skierowanych słyszałeś?

[yorgin]

czyli rozwiązaniem są \(\displaystyle{ z: \quad z \in \CC \wedge Arg(z) = -\frac{\pi}{4}}\)

Oraz \(\displaystyle{ z\neq 0}\).

[Gouranga]

yorgin, istotnie, jak zwykle zapomniałem od początku wyznaczyć dziedzinę ...