Wyznacz postać trygonometryczną liczby

[adamsonm]

Witajcie. Mam problem dotyczący tego zadanka.

Wyznacz postać trygonometryczną liczby zespolonej:

\(\displaystyle{ z=\sin (\alpha) - i \cos (\alpha)}\)

oraz oblicz \(\displaystyle{ z^{2}}\)

Nie miałem jakiś zbytnich problemów z wyznaczeniem postaci trygonometrycznej na "cyfrach" niestety z trygonometrii zawsze byłem słaby i teraz się już gubię. Pomoże jakaś dobra dusza?

[jutrvy]

Moduł jest \(\displaystyle{ |z|^2 = \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)}\), no więc moduł masz. Jak masz problemy z trygonometrią, to podstaw \(\displaystyle{ \sin(\alpha) = x, \cos(\alpha) = y}\) i policz na literkach. Potem wstaw z powrotem zmienne pierwotne i pokaż, co Ci wyszło

[adamsonm]

Jedno pytanie skąd + w module, skoro przed i stoi minus? Mnie wychodziło

\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{\sin ^{2}(\alpha) - \cos ^{2}(\alpha) }}\)

[jutrvy]

A ile jest \(\displaystyle{ (-\cos\alpha)^2}\)?...

[adamsonm]

jasne, jakieś zaćmienie, spróbuję teraz coś napisać, ale na pewno odezwę się za chwilę.

-- 10 gru 2014, o 22:55 --

czyli jest tak

\(\displaystyle{ \left| z\right| = 1}\)

\(\displaystyle{ \cos(\varphi) = \sin \alpha

\sin (\varphi) = -\cos \alpha}\)

czyli mamy 2 ćwiartkę i wzór na \(\displaystyle{ \varphi = \pi - a_{0}}\)
\(\displaystyle{ a_{0} = 45}\) stopni czyli \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\)

\(\displaystyle{ \varphi= \pi - \frac{ \pi }{4} = \frac{3}{4} \pi}\)

czyli:

\(\displaystyle{ z=1 \left( \cos\frac{3}{4} \pi + i\sin\frac{3}{4} \right)}\)

Czuję że wiele rzeczy pomieszałem...

[jutrvy]

\(\displaystyle{ \cos(\varphi) = \sin \alpha

\sin (\varphi) = -\cos \alpha}\)

To aby na pewno jest prawda? Skąd to się wzięło, nie powinno być przypadkiem

\(\displaystyle{ \cos\varphi = \frac{\sin\alpha}{|z|}}\), co?

A jak wyznaczysz \(\displaystyle{ \sin\varphi}\)?.

[adamsonm]

no tak ale \(\displaystyle{ \left| z\right|}\) = 1 tak więc zostaje sam \(\displaystyle{ \sin \alpha}\)

a
\(\displaystyle{ \sin (\varphi) = \frac{- \cos \alpha }{\left| z\right| } = \frac{- \cos \alpha }{1} = - \cos \alpha}\)

[yorgin]

Nie wiem, do czego powyższe ma prowadzić, gdyż jest to przykład działania "na schematach", które nie zawsze muszą dawać wymierne korzyści.

\(\displaystyle{ \sin\alpha-i\cos\alpha=\cos \left( \frac{3}{2}\pi+\alpha \right) +i\sin \left( \frac{3}{2}\pi+\alpha \right)}\)

[adamsonm]

Mogę prosić o wyjaśnienie krok po kroku jak do tego dojść?

[yorgin]

adamsonm, to są wzory redukcyjne.

[adamsonm]

teraz dobrze rozumiem?

Liczę ten moduł, potem, patrze na postać rzeczywistą i urojoną i stosuje wzory:

\(\displaystyle{ -\cos \alpha = \sin\left(270 + \alpha \right)}\)

oraz

\(\displaystyle{ \sin = \cos (270 + \alpha)}\)

kąt 270 stopni ma miarę \(\displaystyle{ \frac{3}{2} \pi}\)

stąd postać jest taka jak podałeś.

Gdzieś popełniłem teraz błąd czy już jest dobrze?

[yorgin]

Dobrze, z dokładnością do precyzyjności zapisu, tj nie \(\displaystyle{ 270}\), a \(\displaystyle{ 270^\circ}\).

[adamsonm]

dzięki wielkie za pomoc !