Witam wszystkich, to mój pierwszy post
Prosiłbym o pomoc z równaniem \(\displaystyle{ z^{7}= z}\) oraz \(\displaystyle{ \overline{z ^{4}}=z ^{2} \cdot |z ^{2}|}\). w pierwszym równaniu przeniosłem \(\displaystyle{ z}\) na drugą stronę i próbowałem wyciągać przed nawias, a w drugim porównywałem części rzeczywiste i części urojone i wyszło mi, że \(\displaystyle{ r\in {R}}\) i nie jestem pewny czy taki wynik może być poprawny. Proszę o jakiekolwiek wskazówki
Równania do rozwiązania
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 7 gru 2014, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 1 raz
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Równania do rozwiązania
1.
\(\displaystyle{ z^7=z\\z(z^6-1)=0\\z=0 \vee z^6=1\\z=0 \vee z=1 \vee z= \frac{ \sqrt{1} }{2} + i\frac{ \sqrt{3} }{2} \vee z= \frac{ -\sqrt{1} }{2} + i\frac{ \sqrt{3} }{2} \vee z=-1 \vee z= \frac{ -\sqrt{1} }{2} - i\frac{ \sqrt{3} }{2} \vee z= \frac{ \sqrt{1} }{2} - i\frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
2.
\(\displaystyle{ \left| z\right|^4 e ^{-i4 \alpha } =\left| z\right|^2 e ^{i2 \alpha } \left| z\right|^2\\
\left| z\right|^4 (e ^{-4 i\alpha }-e ^{i2 \alpha } )=0}\)
\(\displaystyle{ z=0 \vee (\left| z\right| \in \RR \wedge -4 \alpha =2 \alpha +k2 \pi )}\)
\(\displaystyle{ z=0 \vee (\left| z\right| \in \RR \wedge \alpha = k \frac{1}{3} \pi )}\)
Rozwiazaniem są 3 linie przchodzącyce przez początek układu o nachyleniu \(\displaystyle{ 0 ^{\circ} , \ 60^{\circ} , \ 120^{\circ}}\) do dodatniej półosi rzeczywistej.
\(\displaystyle{ z^7=z\\z(z^6-1)=0\\z=0 \vee z^6=1\\z=0 \vee z=1 \vee z= \frac{ \sqrt{1} }{2} + i\frac{ \sqrt{3} }{2} \vee z= \frac{ -\sqrt{1} }{2} + i\frac{ \sqrt{3} }{2} \vee z=-1 \vee z= \frac{ -\sqrt{1} }{2} - i\frac{ \sqrt{3} }{2} \vee z= \frac{ \sqrt{1} }{2} - i\frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
2.
\(\displaystyle{ \left| z\right|^4 e ^{-i4 \alpha } =\left| z\right|^2 e ^{i2 \alpha } \left| z\right|^2\\
\left| z\right|^4 (e ^{-4 i\alpha }-e ^{i2 \alpha } )=0}\)
\(\displaystyle{ z=0 \vee (\left| z\right| \in \RR \wedge -4 \alpha =2 \alpha +k2 \pi )}\)
\(\displaystyle{ z=0 \vee (\left| z\right| \in \RR \wedge \alpha = k \frac{1}{3} \pi )}\)
Rozwiazaniem są 3 linie przchodzącyce przez początek układu o nachyleniu \(\displaystyle{ 0 ^{\circ} , \ 60^{\circ} , \ 120^{\circ}}\) do dodatniej półosi rzeczywistej.
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 7 gru 2014, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 1 raz
Równania do rozwiązania
W pierwszym by mi wyszło, gdyby nie głupia pomyłka przy wyciąganiu przed nawias(ach, to zmęczenie), ale drugiego nie wiedziałem jak dokończyć. Dzięki
Jeszcze tylko jedno pytanie, czemu nie uwzględniamy dalszych wielokrotności \(\displaystyle{ \pi/3}\) ?
Jeszcze tylko jedno pytanie, czemu nie uwzględniamy dalszych wielokrotności \(\displaystyle{ \pi/3}\) ?
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Równania do rozwiązania
Widzę że zapominiałem o indeksie przy oznaczenu liczb rzeczywistych
Powinno być
\(\displaystyle{ z=0 \vee \left( |z| \in \RR _{+} \wedge \alpha = k \frac{1}{3} \pi \right)}\)
co daje środek płaszczyzny Gaussa (Arganda) i sześć pólprostych . Razem to 3 proste.
Sorry, powinienem od razu to napisać.
Powinno być
\(\displaystyle{ z=0 \vee \left( |z| \in \RR _{+} \wedge \alpha = k \frac{1}{3} \pi \right)}\)
co daje środek płaszczyzny Gaussa (Arganda) i sześć pólprostych . Razem to 3 proste.
Sorry, powinienem od razu to napisać.