Równania do rozwiązania

[krzychugda]

Witam wszystkich, to mój pierwszy post

Prosiłbym o pomoc z równaniem \(\displaystyle{ z^{7}= z}\) oraz \(\displaystyle{ \overline{z ^{4}}=z ^{2} \cdot |z ^{2}|}\). w pierwszym równaniu przeniosłem \(\displaystyle{ z}\) na drugą stronę i próbowałem wyciągać przed nawias, a w drugim porównywałem części rzeczywiste i części urojone i wyszło mi, że \(\displaystyle{ r\in {R}}\) i nie jestem pewny czy taki wynik może być poprawny. Proszę o jakiekolwiek wskazówki

[kerajs]

1.
\(\displaystyle{ z^7=z\\z(z^6-1)=0\\z=0 \vee z^6=1\\z=0 \vee z=1 \vee z= \frac{ \sqrt{1} }{2} + i\frac{ \sqrt{3} }{2} \vee z= \frac{ -\sqrt{1} }{2} + i\frac{ \sqrt{3} }{2} \vee z=-1 \vee z= \frac{ -\sqrt{1} }{2} - i\frac{ \sqrt{3} }{2} \vee z= \frac{ \sqrt{1} }{2} - i\frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

2.
\(\displaystyle{ \left| z\right|^4 e ^{-i4 \alpha } =\left| z\right|^2 e ^{i2 \alpha } \left| z\right|^2\\
\left| z\right|^4 (e ^{-4 i\alpha }-e ^{i2 \alpha } )=0}\)
\(\displaystyle{ z=0 \vee (\left| z\right| \in \RR \wedge -4 \alpha =2 \alpha +k2 \pi )}\)
\(\displaystyle{ z=0 \vee (\left| z\right| \in \RR \wedge \alpha = k \frac{1}{3} \pi )}\)
Rozwiazaniem są 3 linie przchodzącyce przez początek układu o nachyleniu \(\displaystyle{ 0 ^{\circ} , \ 60^{\circ} , \ 120^{\circ}}\) do dodatniej półosi rzeczywistej.

[krzychugda]

W pierwszym by mi wyszło, gdyby nie głupia pomyłka przy wyciąganiu przed nawias(ach, to zmęczenie), ale drugiego nie wiedziałem jak dokończyć. Dzięki

Jeszcze tylko jedno pytanie, czemu nie uwzględniamy dalszych wielokrotności \(\displaystyle{ \pi/3}\) ?

[kerajs]

Widzę że zapominiałem o indeksie przy oznaczenu liczb rzeczywistych
Powinno być
\(\displaystyle{ z=0 \vee \left( |z| \in \RR _{+} \wedge \alpha = k \frac{1}{3} \pi \right)}\)
co daje środek płaszczyzny Gaussa (Arganda) i sześć pólprostych . Razem to 3 proste.
Sorry, powinienem od razu to napisać.