pierwiastki wielomianu zespolonego w kole
-
- Użytkownik
- Posty: 178
- Rejestracja: 2 cze 2012, o 12:43
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 3 razy
pierwiastki wielomianu zespolonego w kole
Mam problem z takim zadaniem: Obliczyć ile pierwiastków ma wielomian \(\displaystyle{ p(z)=z^7 +4z^5 + z ^2 -1}\) w kole \(\displaystyle{ \left\{ z: |z|<1\right\}}\). Mam wskazówkę: rozważyć \(\displaystyle{ f(z)=4z^5-1}\), \(\displaystyle{ g(z)=z^7 +z^2}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 178
- Rejestracja: 2 cze 2012, o 12:43
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 3 razy
pierwiastki wielomianu zespolonego w kole
Tw. Rouche
Dla funkcji analitycznych\(\displaystyle{ f,g}\) w obszarze \(\displaystyle{ D}\) jeśli: \(\displaystyle{ |f(z)|>|g(z)|}\), \(\displaystyle{ z \in \partial G}\), \(\displaystyle{ G \subset D}\), to funkcje \(\displaystyle{ f, f+g}\) mają jednakową liczbę zer.
Ale co z tym zrobić to nie wiem
Dla funkcji analitycznych\(\displaystyle{ f,g}\) w obszarze \(\displaystyle{ D}\) jeśli: \(\displaystyle{ |f(z)|>|g(z)|}\), \(\displaystyle{ z \in \partial G}\), \(\displaystyle{ G \subset D}\), to funkcje \(\displaystyle{ f, f+g}\) mają jednakową liczbę zer.
Ale co z tym zrobić to nie wiem
pierwiastki wielomianu zespolonego w kole
Sprawdzić założenia korzystając przy tym z nierówności trójkąta w wersji podstawowej oraz takiej: \(\displaystyle{ |z-w|\ge \bigl||z|-|w|\bigr|}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 178
- Rejestracja: 2 cze 2012, o 12:43
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 3 razy
pierwiastki wielomianu zespolonego w kole
Niestety nic mi to nie pomogło, nadal nie rozumiem co mam zrobic
pierwiastki wielomianu zespolonego w kole
Przykro mi bardzo. Nie zrobię zadania za Ciebie. Masz skorzystać z twierdzenia Rouche, a jego założenia sprawdzić stosując nierówności, które wskazałem. Przypadkiem oznaczenia z cytowanej przez Ciebie wersji zgadzają się z oznaczeniami z zadania. Więc literalnie weź \(\displaystyle{ f,g}\) tak jak są napisane i zastosuj nierówności trójkąta na okręgu \(\displaystyle{ |z|=1}\). To naprawdę proste i nie boli.
-
- Użytkownik
- Posty: 178
- Rejestracja: 2 cze 2012, o 12:43
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 3 razy
pierwiastki wielomianu zespolonego w kole
Oznaczenia nie są przypadkowe tylko celowo zastosowałam takie same w tw jak i zadaniu. A "naprawdę proste i nie boli" to jest wszystko jak się już umie a nie jak ma się pierwszy raz zrobić.
pierwiastki wielomianu zespolonego w kole
Pokażę Ci jedno: jeśli \(\displaystyle{ |z|=1}\), to \(\displaystyle{ |g(z)|=|z^7+z^2|=|z^2|\cdot |z^5+1|=|z^5+1|\le |z|^5+1=2}\). Czy to naprawdę aż tak trudne, jeśli daję Ci wskazówkę, i to bardzo szczegółową? Teraz zastosuj tę drugą nierówność do drugiej funkcji. Tego już za Ciebie nie zrobię. Mogę jedynie sprawdzić rozumowanie.