pierwiastki wielomianu zespolonego w kole

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Studentka1992
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 178
Rejestracja: 2 cze 2012, o 12:43
Płeć: Kobieta
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 3 razy

pierwiastki wielomianu zespolonego w kole

Post autor: Studentka1992 »

Mam problem z takim zadaniem: Obliczyć ile pierwiastków ma wielomian \(\displaystyle{ p(z)=z^7 +4z^5 + z ^2 -1}\) w kole \(\displaystyle{ \left\{ z: |z|<1\right\}}\). Mam wskazówkę: rozważyć \(\displaystyle{ f(z)=4z^5-1}\), \(\displaystyle{ g(z)=z^7 +z^2}\)
szw1710

pierwiastki wielomianu zespolonego w kole

Post autor: szw1710 »

Następna wskazówka: twierdzenie Rouche.
Studentka1992
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 178
Rejestracja: 2 cze 2012, o 12:43
Płeć: Kobieta
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 3 razy

pierwiastki wielomianu zespolonego w kole

Post autor: Studentka1992 »

Tw. Rouche
Dla funkcji analitycznych\(\displaystyle{ f,g}\) w obszarze \(\displaystyle{ D}\) jeśli: \(\displaystyle{ |f(z)|>|g(z)|}\), \(\displaystyle{ z \in \partial G}\), \(\displaystyle{ G \subset D}\), to funkcje \(\displaystyle{ f, f+g}\) mają jednakową liczbę zer.

Ale co z tym zrobić to nie wiem
szw1710

pierwiastki wielomianu zespolonego w kole

Post autor: szw1710 »

Sprawdzić założenia korzystając przy tym z nierówności trójkąta w wersji podstawowej oraz takiej: \(\displaystyle{ |z-w|\ge \bigl||z|-|w|\bigr|}\).
Studentka1992
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 178
Rejestracja: 2 cze 2012, o 12:43
Płeć: Kobieta
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 3 razy

pierwiastki wielomianu zespolonego w kole

Post autor: Studentka1992 »

Niestety nic mi to nie pomogło, nadal nie rozumiem co mam zrobic
szw1710

pierwiastki wielomianu zespolonego w kole

Post autor: szw1710 »

Przykro mi bardzo. Nie zrobię zadania za Ciebie. Masz skorzystać z twierdzenia Rouche, a jego założenia sprawdzić stosując nierówności, które wskazałem. Przypadkiem oznaczenia z cytowanej przez Ciebie wersji zgadzają się z oznaczeniami z zadania. Więc literalnie weź \(\displaystyle{ f,g}\) tak jak są napisane i zastosuj nierówności trójkąta na okręgu \(\displaystyle{ |z|=1}\). To naprawdę proste i nie boli.
Studentka1992
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 178
Rejestracja: 2 cze 2012, o 12:43
Płeć: Kobieta
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 3 razy

pierwiastki wielomianu zespolonego w kole

Post autor: Studentka1992 »

Oznaczenia nie są przypadkowe tylko celowo zastosowałam takie same w tw jak i zadaniu. A "naprawdę proste i nie boli" to jest wszystko jak się już umie a nie jak ma się pierwszy raz zrobić.
szw1710

pierwiastki wielomianu zespolonego w kole

Post autor: szw1710 »

Pokażę Ci jedno: jeśli \(\displaystyle{ |z|=1}\), to \(\displaystyle{ |g(z)|=|z^7+z^2|=|z^2|\cdot |z^5+1|=|z^5+1|\le |z|^5+1=2}\). Czy to naprawdę aż tak trudne, jeśli daję Ci wskazówkę, i to bardzo szczegółową? Teraz zastosuj tę drugą nierówność do drugiej funkcji. Tego już za Ciebie nie zrobię. Mogę jedynie sprawdzić rozumowanie.
ODPOWIEDZ