liczby zespolone - potęgowanie

[leafer]

Witam, mam pytanie. Jak obliczyć wyrażenie kiedy mamy np.

\(\displaystyle{ \frac{(1+i)^{100} \cdot (1-i)^{50}}{(1+i)^2}}\)

[Martinov]

Najprościej chyba zamienić na postaci trygonometryczne, potem ze Wzoru Moivre'a, a jeszcze potem z działań na liczbach zespolonych

[leafer]

ale jak? każdy nawias z osobna zamienić?

[Martinov]

Ja najpierw pozbyłem się mianownika, no bo w liczniku jest ten sam wyraz, ale podniesiony do wyższej potęgi, potem każdy nawias osobno na postać trygonometryczną, poźniej podnieść do potęgi zgodnie ze wzorem Moivre'a, a na końcu już zwykłe mnożenie liczb zespolonych

[leafer]

a co jesli w mianowniku bylby inny nawias? wtedy mnozymy przez mianownik?

[Martinov]

Wtedy ten inny nawias też rozpisujesz na tej samej zasadzie, co każdy inny i również korzystasz z działań na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej.

[leafer]

Dobra. Więc mam taki nawias
\(\displaystyle{ (1+i)^{100}}\)

Otrzymałem:
\(\displaystyle{ z=2^{50}(\cos 25 \pi+i\sin 25 \pi)}\)
Co z tym zrobić?

[Martinov]

Teraz zastosuj wzory redukcyjne. Na przykład \(\displaystyle{ \cos 25\pi = \cos ( 24\pi + \pi )}\)
A jak wiadomo \(\displaystyle{ 24 \pi}\) jest parzystą wielokrotnością \(\displaystyle{ 2 \pi}\)

[leafer]

Więc wyszło dobrze jak mniemam?
Mam zapisać tą wielokrotność 2?, czy po prostu \(\displaystyle{ 2\pi + \pi}\) - tyle, że tutaj przechodzi okres, więc zostaje \(\displaystyle{ \pi}\)?? Nie bardzo rozumiem ;/

Wgl skąd wiedzieć jaką wartość ma dany kąt? Idzie to wyczytać z wykresu nie mając tablicy?

EDIT: Albo np. to:

\(\displaystyle{ 2^{200} \left( \cos 200 \frac{\pi}{3}+i\sin 200 \frac{\pi}{3} \right) = 2^{200} \left( \cos 66\pi+i\sin 66\pi \right)}\) Jakie są wartości tych kątów? Tutaj także 66 (o ile tak można to podzielić) jest wielokrotnością \(\displaystyle{ 2\pi}\)

[Martinov]

\(\displaystyle{ \frac{200}{3}}\) to nie jest 66 tylko \(\displaystyle{ 66 \frac{2}{3}}\)

W takiej sytuacji bierzesz sobie \(\displaystyle{ 66 \pi + \frac{2}{3} \pi}\) Czyli, po zastosowaniu wzorów redukcyjnych zostanie \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \pi}\) I tym dalej możesz się bawić wzorami redukcyjnymi.

EDIT: Wielokrotności nie zapisujesz, po prostu: \(\displaystyle{ \cos \left( 66 \pi + \frac{2}{3} \pi \right) = \cos \frac{2}{3} \pi}\)

[leafer]

A, rozumiem. Więc trzeba dzielić, aby uzyskać prawidłowy kąt. Nie można sobie po prostu tego pominąć, tak - tej wielokrotności?
Niestety dalej nie wiem, skąd wziąć/znać wartości kątów. W tym przypadku \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}}\) ?

[kalwi]

Witam, mam pytanie. Jak obliczyć wyrażenie kiedy mamy np.

\(\displaystyle{ \frac{(1+i)^{100} \cdot (1-i)^{50}}{(1+i)^2}}\)

\(\displaystyle{ = \frac{\left( 2i\right)^{50} \cdot \left( -2i\right)^{25} }{2i}=- \left( 2i\right)^{50+25-1} =-2^{74} \cdot i^{74}=-2^{74} \cdot i^2=2^{74}}\)

Prawda, że prościej?

[leafer]

Ponawiam. Jak znaleźć wartość kąta, np. \(\displaystyle{ 2^{50} \left( \cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3} \right)}\)

[kalwi]

?
Przecież tu już masz kąt podany.

\(\displaystyle{ 2^{50}(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3})=2^{50}\exp \left(i \frac{2\pi}{3}\right)}\)

[leafer]

To ja już tutaj czegoś nie rozumiem. Ja na zajęciach normalnie obliczam jeszcze wartość np. (1+0)=1