Równanie 3 stopnia.

[Martinov]

Rozwiązać równanie i przedstawić rozwiązania w postaci kanonicznej.

Równanie:

\(\displaystyle{ (z-2i) ^{3} = \left( \frac{4+7i}{3+2i} \right) ^{6}}\)

Prawą strone sprowadziłem do prostszej postaci: \(\displaystyle{ (2+i) ^ 6}\)

Ale dalej już nie wiem co zrobić ;/
Jak spierwiastkuje sobie stronami pierwiastkiem 3 stopnia, to wychodzi \(\displaystyle{ z = 3 + 6i}\) ale wątpię, żeby takie rozwiązanie było poprawne.

[lukasz1804]

Może warto przedstawić liczbę \(\displaystyle{ (2+i)^6}\) w postaci jawnej, tzn. \(\displaystyle{ a+bi}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b\in\RR}\)?
Później możesz wyznaczyć pierwiastki \(\displaystyle{ 3}\)-go stopnia z otrzymanej liczby. Na koniec do każdego z otrzymanych pierwiastków wystarczy dodać \(\displaystyle{ 2i}\).

[Martinov]

Rozpisałem \(\displaystyle{ (2+i)^6}\) ze wzoru Newtona.
Otrzymałem \(\displaystyle{ -117 + 44i}\)

I co dalej? Zamieniając na postać trygonometryczną otrzymujemy ładny moduł, bo 125, czyli \(\displaystyle{ 5^3}\), ale z funkcjami trygonometrycznymi już gorzej, jeśli nie mamy tablic.

[lukasz1804]

Jeśli ta metoda nastręcza trudności, może skuteczniejsza będzie inna: \(\displaystyle{ (2+i)^6=[(2+i)^2]^3=(3+4i)^3}\). Otrzymujemy równanie równoważne \(\displaystyle{ (z-2i)^3-(3+4i)^3=0}\). Po lewej stronie możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia, otrzymując jeden czynnik pierwszego i jeden drugiego stopnia (względem \(\displaystyle{ z}\)).

[Martinov]

Ekstra! Dzięki bardzo
Rachunki później nie są za łatwe też, ale wszystko da się policzyć