Pierwiastki wielomianu zespolonego

sympatia17 · Post autor: **sympatia17** » 7 gru 2014, o 15:37

Ile pierwiastków ma wielomian zespolony \(\displaystyle{ z^5- \frac{1}{4}=0}\)?

Dla potęgi parzystej, np. \(\displaystyle{ z^4- \frac{2}{5}=0}\) wiem, że jest 4.

Dla potęgi nieparzystej nie wiem jak policzyć.
Proszę o pomoc.

waliant · Post autor: **waliant** » 7 gru 2014, o 15:43

sympatia17 pisze:Ile pierwiastków ma wielomian zespolony \(\displaystyle{ z^5- \frac{1}{4}=0}\)?

Mówi o tym zasadnicze twierdzenie algebry.

sympatia17 · Post autor: **sympatia17** » 7 gru 2014, o 15:50

ZASADNICZE TWIERDZENIE ALGEBRY
Każdy wielomian zespolony stopnia \(\displaystyle{ n \in N}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków zespolonych (uwzględniając pierwiastki wielokrotne).

O to chodzi??

Czyli ten mój wielomian ma 5 pierwiastków, a dokładniej jeden 5-krotny? Przecież mogą być jeszcze rzeczywiste.

Przez 5-krotny pierwiastek rozumiem np. \(\displaystyle{ (z-a)^5=0}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\)-pieriwastek.
A nie coś takiego \(\displaystyle{ 4a^5- \frac{1}{4}=0}\)

Gouranga · Post autor: **Gouranga** » 7 gru 2014, o 16:12

Przecież mogą być jeszcze rzeczywiste.

\(\displaystyle{ \RR = \left\{x: \quad x \in \CC \wedge \Im(x) = 0 \right\}}\)

sympatia17 · Post autor: **sympatia17** » 7 gru 2014, o 16:14

No to w końcu ile ich jest? 5 rożnych czy jeden 5-krotny?

Gouranga · Post autor: **Gouranga** » 7 gru 2014, o 16:27

Jest 5 pierwiastków (w tym mogą się powtarzać jeśli są wielokrotne)