Równanie do rozwiązania

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Burkat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 9 maja 2014, o 14:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Myślenice
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3 razy

Równanie do rozwiązania

Post autor: Burkat »

Mam takie równanie:
\(\displaystyle{ z^{4} = \left( \frac{i-3}{-2i}\right)^{12}}\)

Chcę się dowiedzieć nieco o metodyce rozwiązywania takiego równia, czy mogę sobie tutaj podnieść stronami do potęgi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) ? Jeśli tak to teoretycznie mam:
\(\displaystyle{ z= \left( \frac{i-3}{-2i}\right)^{3}}\)
Gdzie wyrażenie po prawej stronie wynosi \(\displaystyle{ \frac{13}{4}}\)
Teraz czy i jak mogę to wykorzystać ?
Dziękuję za pomoc i pozdrawiam.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Równanie do rozwiązania

Post autor: Premislav »

\(\displaystyle{ z= \left( \frac{i-3}{-2i}\right)^{3}}\) jest jednym z rozwiązań (dla uproszczenia tego wyniku możesz zamienić licznik i mianownik wyrażenia w nawiasie na postać trygonometryczną i użyć wzoru de Moivre'a). Wszystkie rozwiązania zaś uzyskasz, mnożąc otrzymany wynik przez pierwiastki zespolone czwartego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\).
Burkat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 9 maja 2014, o 14:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Myślenice
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3 razy

Równanie do rozwiązania

Post autor: Burkat »

Jest jakaś reguła na to wymnażanie przez pierwiastki z 1, pierwszy raz o tym słyszę ?
Pod jaką nazwą tego szukać w literaturze ?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Równanie do rozwiązania

Post autor: Premislav »

Jest. Jak masz równanie \(\displaystyle{ z^{n}=k}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest jakąś tam liczbą zespoloną, to niech \(\displaystyle{ k_{0}}\) będzie jego pewnym rozwiązaniem. Wtedy wszystkie rozwiązania możemy uzyskać, mnożąc to szczególne rozwiązanie \(\displaystyle{ k_{0}}\) przez pierwiastki stopnia \(\displaystyle{ n}\) z \(\displaystyle{ 1}\).
Masz to na Wikipedii, w haśle liczby zespolone.
... astkowanie
Ostatnio zmieniony 6 gru 2014, o 18:56 przez Premislav, łącznie zmieniany 1 raz.
Burkat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 9 maja 2014, o 14:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Myślenice
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3 razy

Równanie do rozwiązania

Post autor: Burkat »

Dziękuję bardzo! Problem rozwiązany.
ODPOWIEDZ