Pierwiastek liczby zespolonej - dwa sposoby

[ewciak]

Mam za zadanie znaleźć pierwiastki \(\displaystyle{ \sqrt[3]{8i}}\) dwoma sposobami. Jeden z nich to obliczanie ich z postaci trygonometrycznej, drugi to obliczenie \(\displaystyle{ z_{0}}\), a następnie każdy kolejny obliczamy wg zasady \(\displaystyle{ z_k=z_0 \cdot \varepsilon_k}\), gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon_k=\sqrt[n]{1}, k=0, 1, \ldots, n-1.}\)

I chciałabym się skupić na tym drugim sposobie. Mam więc obliczone \(\displaystyle{ \sqrt[3]{1}=\left \{ {1, \frac{-1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{-1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right \} .}\)
Dalej dla \(\displaystyle{ z=8i, \quad |z|=8, \quad \varphi=\frac{\pi}{2}}\)
Zatem \(\displaystyle{ z_0= \sqrt[3]{|8i|}\left( \cos\frac{\frac{\pi}{2}}{3} + i \sin\frac{\frac{\pi}{2}}{3} \right)=2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} + i}\)

W zeszycie natomiast mam, że \(\displaystyle{ z_0=2i}\) i zupełnie nie rozumiem, skąd bierze się taki wynik. Czy ktoś może mi powiedzieć, gdzie robię błąd?

[kerajs]

Gdzieś zgubiony jest minus
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{8i}= \sqrt[3]{-8i^3}= \sqrt[3]{(-2i)^3} =-i2}\)

[yorgin]

Zatem \(\displaystyle{ z_0= \sqrt[3]{|8i|}\left( \cos\frac{\frac{\pi}{2}}{3} + i \sin\frac{\frac{\pi}{2}}{3} \right)=2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} + i}\)

To jest dobrze policzone.

Gdzieś zgubiony jest minus
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{8i}= \sqrt[3]{-8i^3}= \sqrt[3]{(-2i)^3} =-i2}\)

Hm... Nie dostałbyś punktów za taki zapis.

[kerajs]

Hmm.., a dlaczego?

[miodzio1988]

pierwiastek trzeciego stopnia z liczby zespolonej jest zbiorem

[kerajs]

pierwiastek trzeciego stopnia z liczby zespolonej jest zbiorem

i...?

[miodzio1988]

i dalej zapisuj, ze zbior jest rowny liczbie

[kerajs]

i dalej zapisuj, ze zbior jest rowny liczbie

I to ma być wyjaśnienie o co Ci chodzi ? Sarkazm lub kpina nic nie objaśnia.
Proponuję wskazanie mi na cyferkach i znaczkach gdzie jest błąd.

[miodzio1988]

Ok. czy taka równość jest prawdziwa:

\(\displaystyle{ 1=\{ 1,2,3 \}}\)

bo wlasnie to napisałeś.

I sorka, ale jeśli podstaw liczb zespolonych nie znasz/nie rozumiesz to wstrzymuj się z rozwiązywaniem zadań z tego działu, bo tylko bzdury piszesz wprowadzające ludzi w błąd

[kerajs]

Ok. czy taka równość jest prawdziwa:
\(\displaystyle{ 1=\{ 1,2,3 \}}\)
bo wlasnie to napisałeś.

1. A niby gdzie coś takiego zapisałem?
2. Proponuję aby wyjaśnienie było na wyrażeniu z mojego postu, a nie na innym przykładzie.

I sorka, ale jeśli podstaw liczb zespolonych nie znasz/nie rozumiesz to wstrzymuj się z rozwiązywaniem zadań z tego działu, bo tylko bzdury piszesz wprowadzające ludzi w błąd

Może czegoś się nauczę, gdy pokażesz mi te bzdury.

[Premislav]

kerajs, sądzę, że chodzi o to:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{8i}= \sqrt[3]{-8i^3}= \sqrt[3]{(-2i)^3} =-i2}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{8i}=\left\{z \in \CC: z^{3}=8i\right\}}\)

[kerajs]

Wybacz Premislav, ale chciałbym aby to korepetytor miodzio1988 wyjasnił mi, co miał na myśli. Tym bardziej że nie robi tego w miły sposób.

[kammeleon18]

I sorka, ale jeśli podstaw liczb zespolonych nie znasz/nie rozumiesz to wstrzymuj się z rozwiązywaniem zadań z tego działu, bo tylko bzdury piszesz wprowadzające ludzi w błąd

Może czegoś się nauczę, gdy pokażesz mi te bzdury.

Po prostu są 3 liczby zespolone, które podniesione do 3 potęgi dają \(\displaystyle{ 8i}\), także przez \(\displaystyle{ \sqrt[3]{8i}}\) zwykle oznacza się ten zbiór 3 - elementowy (jednym z jego elementów jest \(\displaystyle{ -2i}\)).
Można zatem napisać
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{8i}=\{-2i, \ldots \}}\) albo
\(\displaystyle{ -2i \in \sqrt[3]{8i}}\) albo
\(\displaystyle{ (-2i)^3=8i}\)
ale nie \(\displaystyle{ \sqrt[3]{8i}=-2i}\)

[miodzio1988]

kerajs, sądzę, że chodzi o to:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{8i}= \sqrt[3]{-8i^3}= \sqrt[3]{(-2i)^3} =-i2}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{8i}=\left\{z \in \CC: z^{3}=8i\right\}}\)

Masz, już rozumiesz?

Przepraszam, że Ci sie zrobiło nieprzyjemnie

[kerajs]

Nie, nadal nie wiem co to ma wspólnego z tematem i moją na niego odpowiedzią.

I chętnie się od Ciebie tego dowiem.