wykazac tozsamosc

[zolax]

Jak wykazac taka tozsamosc:
\(\displaystyle{ \left| 1+ z_{1} \overline{z_{2}} \right|^2+\left| z_{1}-z_{2} \right|^2 = (1+\left| z_{1}\right|^2)(1+\left| z_{2}\right|^2)}\) Glownie chodzi mi o ten pierwszy modul gdzie jest \(\displaystyle{ z_{1}\overline{z_{2}}}\)

[sebnorth]

\(\displaystyle{ \left| 1+ z_{1} \overline{z_{2}} \right|^2+\left| z_{1}-z_{2} \right|^2 =}\)

\(\displaystyle{ (1 + z_1\overline{z_2})(\overline{1 + z_1\overline{z_2}}) + (z_1 - z_2)(\overline{z_1 - z_2}) =}\)

\(\displaystyle{ = (1 + z_1\overline{z_2})(1 + \overline{z_1}z_2) + z_1\overline{z_1} - z_1\overline{z_2}- z_2\overline{z_1} + z_2\overline{z_2} =}\)

\(\displaystyle{ = 1 + \overline{z_1}z_2 + z_1\overline{z_2} + z_1\overline{z_1}z_2\overline{z_2} + z_1\overline{z_1} - z_1\overline{z_2}- z_2\overline{z_1} + z_2\overline{z_2} =}\)

\(\displaystyle{ = 1 + z_1\overline{z_1} + z_2\overline{z_2} + z_1\overline{z_1}z_2\overline{z_2} =}\)

\(\displaystyle{ = (1 + z_1\overline{z_1})(1 + z_2\overline{z_2}) = (1+\left| z_{1}\right|^2)(1+\left| z_{2}\right|^2)}\)

[zolax]

Dziękuję bardzo mam jeszcze problem z 2 przykładami:
a)\(\displaystyle{ \frac{(1+i)^{100}\cdot(i- \sqrt{3} )^{200}}{(1+i \sqrt{3})^2 }}\)
b)\(\displaystyle{ 1+ \frac{ \sqrt{3} -i }{2}+ (\frac{ \sqrt{3}-i }{2})^2+...+( \frac{ \sqrt{3} -i}{2} )^{20}}\)
Czy w tym pierwszym mogę każdy wyraz policzyć osobno i potem wymnożyć i podzielić? Czy jakoś inaczej da się to zrobić oraz jak drugi rozwiązać? Z góry dziękuję.

[yorgin]

a) Można osobno. Ewentualnie \(\displaystyle{ (i-\sqrt{3})^{200}=((i-\sqrt{3})^2)^{100}}\), mnożenie i wspólna, setna potęga w liczniku.

b) To jest \(\displaystyle{ 1+q+q^2+\ldots+q^{20}}\) dla \(\displaystyle{ q=?}\)

[zolax]

b) \(\displaystyle{ q =\frac{ \sqrt{3} -i}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_{1} = 1}\) i wiem jeszcze, że to jest suma 21 wyrazów ciągu.-- 4 gru 2014, o 21:24 --Jeszcze odnośnie pierwszego bo zrobiłem takim sposobem:
\(\displaystyle{ \frac{(1+i)^{100}\cdot(i- \sqrt{3} )^{200}}{(1+i \sqrt{3})^2 } = \frac{(1+i)^{100}\cdot(i- \sqrt{3} )^{200}}{(i^4+i \sqrt{3})^2 } = \frac{(1+i)^{100}\cdot(i- \sqrt{3} )^{200}}{(i(i^3+ \sqrt{3}))^2 } = \frac{(1+i)^{100}\cdot(i- \sqrt{3} )^{200}}{(-i)^2(i- \sqrt{3})^2 } = \frac{(1+i)^{100}\cdot((i- \sqrt{3} )^2)^{200}}{1(i- \sqrt{3})^2 } = (1+i)^{100}\cdot(i- \sqrt{3} )^{100}}\)
Czy dobrze to rozłożyłem?

[yorgin]

Dobrze. Teraz wystarczy znany wzór, uproszczenie i... koniec.

[zolax]

\(\displaystyle{ (1+i)^{100}\cdot(i- \sqrt{3} )^{100} = - \sqrt{2}^{100} \cdot 2^{100} \left( \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right)}\)
Można to tak zostawić czy da się jakoś uprościć jeszcze? Oraz co z tym drugim bo nadal nie rozumiem ;p

[yorgin]

Nie można zostawić, gdyż przekształcenia są błędne.

Chyba jednak lepiej będzie Ci to policzyć korzystając z postaci trygonometrycznej/wykładniczej liczby zespolonej - tak się z reguły oblicza wysokie potęgi liczb zespolonych. A tutaj wyjdą "ładne" kąty.

W tym drugim zastanów się, po co wprowadziłem \(\displaystyle{ q}\), z czym to się zwykle kojarzy i jak szybko policzyć wypisaną sumę.

[zolax]

To co napisałem to wynik postaci tryg. chyba że coś źle obliczyłem jak ma wyglądać zapis?
2) q kojarzy się z ciągiem, a dokładniej z ilorazem ciągu.
Ale jak policzyć sumę to nie wiem

[yorgin]

Źle zrozumiałem to, co napisałeś do pierwszego.

\(\displaystyle{ (1+i)^{100}\cdot(i- \sqrt{3} )^{100} = - \sqrt{2}^{100} \cdot 2^{100} \left( \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right)}\)

Druga liczba jest podniesiona poprawnie, pierwsza niepoprawnie. Skąd się wziął ten pierwiastek z dwóch? Poza tym wszystkim, jedna z liczb jest podnoszona do dwusetnej potęgi.

Oraz co z tym drugim bo nadal nie rozumiem ;p

A mówi Ci coś słowo "ciąg geometryczny"?

Przerób to na spokojnie, powtórz ciągi. Ja zajrzę do tematu jutro rano sprawdzić postępy.

[zolax]

Tam jest błąd bo wyciągałem potęgę 2 i zamiast 200 powinno być: \(\displaystyle{ (1+i)^{100}\cdot(i- \sqrt{3} )^{100}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) to moduł 1 wyrażenia bo z nawiasu wychodzi (-1) dlatego jest \(\displaystyle{ (- \sqrt{2})^{100}}\)
Dziękuję za pomoc będę myślał nad drugim. Życzę spokojnej nocy

Do tego 2, można policzyć sumę 21 wyrazów \(\displaystyle{ q = \frac{ \sqrt{3} -i }{2}}\)
\(\displaystyle{ s_{21} = 1 \cdot \frac{1- ( \frac{ \sqrt{3} -i}{2} )^{21}}{1-( \frac{\sqrt{3}-i}{2} ) }}\)
Pytanie czy dobrym tropem idę

[yorgin]

\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) to moduł 1 wyrażenia bo z nawiasu wychodzi (-1) dlatego jest \(\displaystyle{ (- \sqrt{2})^{100}}\)

Ok, moduł się zgadza, ale z jakiego nawiasu ma wyjść \(\displaystyle{ -1}\)? I dlaczego setna potęga? Nie piszesz dostatecznie jasno i nie wiem do końca, o co chodzi.

\(\displaystyle{ (1+i)^{100}=(2i)^{50}=\ldots}\)

Do tego 2, można policzyć sumę 21 wyrazów \(\displaystyle{ q = \frac{ \sqrt{3} -i }{2}}\)
\(\displaystyle{ s_{21} = 1 \cdot \frac{1- ( \frac{ \sqrt{3} -i}{2} )^{21}}{1-( \frac{\sqrt{3}-i}{2} ) }}\)
Pytanie czy dobrym tropem idę

Trop jest dobry.

[zolax]

Napiszę pierwsze całe:
\(\displaystyle{ \frac{ \left( 1+i \right) ^{100}\cdot \left( i- \sqrt{3} \right) ^{200}}{ \left( 1+i \sqrt{3} \right) ^2 } = \frac{ \left( 1+i \right) ^{100}\cdot \left( i- \sqrt{3} \right) ^{200}}{ \left( i^4+i \sqrt{3} \right) ^2 } = \frac{ \left( 1+i \right) ^{100}\cdot \left( i- \sqrt{3} \right) ^{200}}{ \left( i \left( i^3+ \sqrt{3} \right) \right) ^2 } = \frac{ \left( 1+i \right) ^{100}\cdot \left( i- \sqrt{3} \right) ^{200}}{ \left( -i \right) ^2 \left( i- \sqrt{3} \right) ^2 } = \frac{ \left( 1+i \right) ^{100}\cdot \left( \left( i- \sqrt{3} \right) ^2 \right) ^{100}}{1 \left( i- \sqrt{3} \right) ^2 } = \left( 1+i \right) ^{100}\cdot \left( i- \sqrt{3} \right) ^{100}}\)
Liczę najpierw pierwsze wyrażenie więc:
Moduł z pierwszego to \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos \phi = \frac{ \sqrt{2} }{2} = \frac{ \pi }{4}}\)
\(\displaystyle{ \left( 1+i \right) ^{100} =\sqrt{2}^{100} \left( \cos 100\frac{ \pi }{4} + i\sin 100\frac{ \pi }{4} \right) = \sqrt{2}^{100} \left( \cos 25\pi + i\sin 25\pi \right) =\sqrt{2}^{100} \left( -1+0 \right) = \left( -\sqrt{2} \right) ^{100}}\)
Drugie wyrażenie:
Moduł jest równy \(\displaystyle{ 2}\)
\(\displaystyle{ \cos \phi=- \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{\pi}{6} \Rightarrow \pi- \frac{\pi}{6} = \frac{5}{6}\pi}\)
\(\displaystyle{ \left( i- \sqrt{3} \right) ^{100} = 2^{100} \left( \cos 100\frac{ 5 }{6}\pi + i\sin 100\frac{ 5 }{6}\pi \right) = 2^{100} \left( \cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3} \right) =2^{100} \left( \frac{1}{2} + i \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)}\)
Więc:
\(\displaystyle{ \left( 1+i \right) ^{100}\cdot \left( i- \sqrt{3} \right) ^{100} = - \sqrt{2}^{100} \cdot 2^{100} \left( \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right)}\)
W tym drugim mnożę razy 2 i mam:
\(\displaystyle{ s_{21} = \frac{4- \left( \sqrt{3} - i \right) ^{21}}{2- \sqrt{3} -i}}\)

Jak pozbyć się z mianownika urojonej liczby, pomnożenie przez sprzężenie wchodzi w grę? Chyba, że mam jakiś błąd to proszę o poprawienie.

[yorgin]

Napiszę pierwsze całe:
\(\displaystyle{ \frac{(1+i)^{100}\cdot((i- \sqrt{3} )^2)^{100}}{1(i- \sqrt{3})^2 } = (1+i)^{100}\cdot(i- \sqrt{3} )^{100}}\)

Ta równość jest fałszywa. Wykładnikiem nie będzie po uproszczeniu \(\displaystyle{ 100}\), a \(\displaystyle{ 99}\).

W tym drugim mnożę razy 2 i mam:
\(\displaystyle{ s_{21} = \frac{4-( \sqrt{3} - i)^{21}}{2- \sqrt{3} -i}}\)

To też jest źle. W mianowniku licznika jest dwudziesta pierwsza potęga, więc po mnożeniu przez dwa zostanie dwudziesta.

[zolax]

Ahaa, czyli w tym pierwszym muszę policzyć:
\(\displaystyle{ (1+i)^{100}\cdot(i- \sqrt{3} )^{99}}\)

A to drugie jak uprościć?