w liczbach zespolonych:
\(\displaystyle{ \left(z-1 \right) ^{4}=\left( 1+2i\right) ^{8}}\)
Jak się za to zabrać żeby formalnie było dobrze ?
Inaczej niż trygonometrycznie
Rozwiąż równanie
-
realityoppa
- Użytkownik
- Posty: 117
- Rejestracja: 26 gru 2012, o 16:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 10 razy
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Rozwiąż równanie
Podstawiając \(\displaystyle{ w=z-1}\) i na pałę pierwiastkując, dostajemy, że jedną z możliwości jest \(\displaystyle{ z-1=(1+2i)^{2}}\) (czyli \(\displaystyle{ z=...}\)). Wszystkie rozwiązania uzyskamy, mnożąc uzyskane \(\displaystyle{ z-1}\) przez pierwiastki stopnia \(\displaystyle{ 4}\) z jedynki, a tych wcale nie musimy uzyskiwać trygonometrycznie (choć tak jest wygodniej), a następnie dodając \(\displaystyle{ 1}\). Możemy nawalać dwumianem Newtona: chcemy by \(\displaystyle{ (a+bi)^{4}=1}\).
Ze wz. dwumianowego Newtona lewa strona to jest \(\displaystyle{ a ^{4}+4a ^{3}bi-6a ^{2} b ^{2}-4ab ^{3}i +b ^{4}}\). Robimy układ równań na część rzeczywistą i urojoną: rzeczywista ma być równa \(\displaystyle{ 1}\), urojona \(\displaystyle{ 0}\). Ten układ idzie w jednej czy dwóch linijkach, niby są jakieś przypadki, ale połowa od razu daje sprzeczność.
Albo po prostu (bo to taka rzecz, że łatwo zgadnąć, dzięki miłemu wykładnikowi) możemy skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ i^{2}=(-i)^{2}=-1}\), bo wobec tego \(\displaystyle{ i ^{4}=(-i)^{4}=...}\). Pozostałe pierwiastki czwartego stopnia to oczywiście \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\).
Ze wz. dwumianowego Newtona lewa strona to jest \(\displaystyle{ a ^{4}+4a ^{3}bi-6a ^{2} b ^{2}-4ab ^{3}i +b ^{4}}\). Robimy układ równań na część rzeczywistą i urojoną: rzeczywista ma być równa \(\displaystyle{ 1}\), urojona \(\displaystyle{ 0}\). Ten układ idzie w jednej czy dwóch linijkach, niby są jakieś przypadki, ale połowa od razu daje sprzeczność.
Albo po prostu (bo to taka rzecz, że łatwo zgadnąć, dzięki miłemu wykładnikowi) możemy skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ i^{2}=(-i)^{2}=-1}\), bo wobec tego \(\displaystyle{ i ^{4}=(-i)^{4}=...}\). Pozostałe pierwiastki czwartego stopnia to oczywiście \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\).