Cześć wszystkim.Mam problem z pewnym zadaniem, którego nie potrafię rozwiązać. Wychodzą mi jakieś dziwne liczby.
\(\displaystyle{ (2- \sqrt{3} +i)^{12}}\)
Czyli \(\displaystyle{ a=2- \sqrt{3}}\) i \(\displaystyle{ b=1}\). Zatem \(\displaystyle{ |z|= \sqrt{8-4 \sqrt{3} }}\)
Sam \(\displaystyle{ cos\varphi= \frac{ \sqrt{24+12 \sqrt{3}} }{4}}\).Nie mam żadnego pomysłu jak to przekształcić na liczbę \(\displaystyle{ \Pi}\). Wzoru de Moivra nawet nie stosuję bo to chyba te liczby będą bardziej dziwne.
Byłbym wdzięczny gdyby ktoś mi pokazał gdzie robię błąd, albo jeśli to jest dobrze, to jakoś naprowadził mnie na odpowiedni kierunek.
Potęgowanie liczby zespolonej
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 15:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białystok
-
- Użytkownik
- Posty: 283
- Rejestracja: 28 sie 2010, o 14:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnowskie Góry
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 39 razy
Potęgowanie liczby zespolonej
\(\displaystyle{ \cos\varphi= \frac{2- \sqrt{3} }{ \sqrt{8-4 \sqrt{3} } } = \frac{2- \sqrt{3} }{\sqrt{4\left( 2- \sqrt{3} \right) }} = \frac{2- \sqrt{3} }{ 2 \sqrt{2- \sqrt{3}} } = \frac{\left( \sqrt{2 - \sqrt{3} } \right) ^{2} }{ 2 \sqrt{2- \sqrt{3}} }= \frac{ \sqrt{2- \sqrt{3} } }{2}}\)
\(\displaystyle{ \varphi = 75 ^{o} = \frac{5 \pi }{12}}\)
bo:
\(\displaystyle{ \cos\left( 30 ^{o} + 45 ^{o} \right) = \cos30 ^{o} \cdot \cos45 ^{o} - \sin30 ^{o} \cdot \sin45 ^{o} = \frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} = \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4} = \frac{ \sqrt{ \left( \sqrt{6} - \sqrt{2} \right) ^{2} } }{4} =\frac{ \sqrt{2- \sqrt{3} } }{2}}\)
\(\displaystyle{ \varphi = 75 ^{o} = \frac{5 \pi }{12}}\)
bo:
\(\displaystyle{ \cos\left( 30 ^{o} + 45 ^{o} \right) = \cos30 ^{o} \cdot \cos45 ^{o} - \sin30 ^{o} \cdot \sin45 ^{o} = \frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} = \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4} = \frac{ \sqrt{ \left( \sqrt{6} - \sqrt{2} \right) ^{2} } }{4} =\frac{ \sqrt{2- \sqrt{3} } }{2}}\)