Pierwiastek trzeciego stopnia

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
grzes9525
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 1 paź 2014, o 00:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 17 razy

Pierwiastek trzeciego stopnia

Post autor: grzes9525 »

Wie ktoś jak to rozwiązać? Oblicz \(\displaystyle{ \sqrt[3]{z}}\), \(\displaystyle{ z=2 \frac{(-1+ \sqrt{3}j ) ^{12} }{(1-j) ^{8} }}\). "z" mi wyszło \(\displaystyle{ 2 ^{11}}\) i nie wiem czy mi dobrze wyszło a nawet jesli dobrze to nie wiem jak wyznaczyć te 3 rozwiązania pierwiastka. Z góry dziękuje za pomoc.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Pierwiastek trzeciego stopnia

Post autor: Premislav »

Mnie w pamięci \(\displaystyle{ z}\) wychodzi inne niż \(\displaystyle{ 2 ^{11}}\), a mianowicie \(\displaystyle{ 2 ^{5}}\) z dokładnością do znaku. Można zamienić \(\displaystyle{ -1+\sqrt{3}j}\)oraz \(\displaystyle{ 1-j}\) na postać trygonometryczną, skorzystać ze wzoru de Moivre'a dla licznika i mianownika (po prostu mnożysz argumenty kątowe), potem podzielić (moduły normalnie dzielisz, argumenty kątowe odejmujesz) i potem policzyć pierwiastki trzeciego stopnia (wyjdą oczywiście trzy, pamiętaj o okresowości sinusa i cosinusa).
Ale można to też zrobić trochę inaczej: liczysz jeden pierwiastek, a pozostałe dwa uzyskując przez pierwiastki zespolone trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\) różne od \(\displaystyle{ 1}\).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Pierwiastek trzeciego stopnia

Post autor: a4karo »

Notowanie modułu tego wyrażenia na giełdzie matematyka.pl przechodzi dziwne fluktuacje:
4:48 \(\displaystyle{ 2^{11}}\)
5:07 \(\displaystyle{ 2^5}\)
teraz
\(\displaystyle{ |z|=\left|2 \frac{(-1+ \sqrt{3}j ) ^{12} }{(1-j) ^{8} }\right|=2\left|\frac{\frac{2^{12}}{2^{12}}(-1+ \sqrt{3}j ) ^{12} }{\frac{\sqrt{2}^{8}}{\sqrt{2}^{8}}(1-j) ^{8} }\right|=2\frac{2^{12}}{2^4}
\left|\frac{(\frac{-1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}j ) ^{12} }
{(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}j) ^{8} }\right|=2^9}\)
SidCom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 716
Rejestracja: 5 sty 2012, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 125 razy

Pierwiastek trzeciego stopnia

Post autor: SidCom »

\(\displaystyle{ z=512}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{z} =8}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Pierwiastek trzeciego stopnia

Post autor: a4karo »

SidCom pisze:\(\displaystyle{ z=512}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{z} =8}\)

Nie: pierwiastek trzeciego stopnia jest funkcją wielowartościową. Są jeszcze dwa inne. Skorzystaj ze wskazówki Premislava, żeby je wyznaczyć
SidCom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 716
Rejestracja: 5 sty 2012, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 125 razy

Pierwiastek trzeciego stopnia

Post autor: SidCom »

To jest oczywiste, chciałem tylko podkreślić, że \(\displaystyle{ \ z \in \RR}\)

pominąłem \(\displaystyle{ z_1= -4 + 4\sqrt{3}i \\
z_2=-4 - 4 \sqrt{3}i}\)
ODPOWIEDZ