wyznaczyc pierwiastki

[Lame]

Liczba \(\displaystyle{ z=2-i}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(z)= z^{4} -4z^{3}+3z^{2}+8z-10}\)
Wyznaczyc pozostałe pierwiastki.


Podpowiecie mi jak ruszyć to zadanie ?

[Kacperdev]

Wielomian jest o współczynnikach wymiernych więc na pewno \(\displaystyle{ z=2+i}\) będzie także pierwiastkiem. Teraz możesz np. schemat Hornera.

[Lame]

Dlaczego sprzężenie tego pierwiastka rowniez bedzie pierwiastkiem ? Zawsze tak jest czy to od czegos zalezy ?

I jak sie dzieli hornerem liczby zespolone ? Tak samo jak rzeczywiste ?

[Kacperdev]

niech \(\displaystyle{ x \in \CC \text{ oraz } a_{i} \in \RR}\) załóżmy, że \(\displaystyle{ f(x)=a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+\ldots + a_{n}x^{n}=0}\)

z własnosci sprzężenia \(\displaystyle{ z_{1}=z_{2} \Leftrightarrow \overline{z_{1}}=\overline{z_{2}}}\) oraz \(\displaystyle{ \overline{a z}=a \overline{z} \text{ gdy } a \in \RR}\)

weźmy zatem sprzężenie na obu stron wielomianu:

\(\displaystyle{ \overline{a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+\ldots + a_{n}x^{n}}=\overline{0}=0}\)

dalej: \(\displaystyle{ \overline{a_{0}x^{0}}+\overline{a_{1}x^{1}}+\ldots + \overline{a_{n}x^{n}}}=\overline{0}=0}\)
operując dalej na własnościach sprzężen otrzymujemy, że \(\displaystyle{ f(\overline{x})=0}\), ale tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ a_{i} \in \RR}\).

Tak, dokładnie jak dla liczb rzeczywistych.