Pochodna funkcji zespolonej różnymi metodami

[hawk_007]

jak policzyć pochodną funkcji zespolonej:
\(\displaystyle{ f(z)= z^{3}-z}\)
w najprostszy sposób wychodzi mi:
\(\displaystyle{ f'(z)=3 z^{2}-1}\)
ale w zadaniu proszą o rozwiązanie innymi metodami licząc pochodne cząstkowe:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial x} ; \frac{ \partial v}{ \partial x}; \frac{ \partial v}{ \partial y}; \frac{ \partial u}{ \partial y} }}\)
i w żaden sposób nie chce zajść równość Cauchyego Riemanna o ile dobrze ją zrozumiałem...
Rozwiązania mogą wyjść rózne dla tych pochodnych? Mam porównać rózne metody rozwiązania pochodnych.

[szw1710]

Równania C-R zachodzą. Sprawdź obliczenia.

Trudno, żeby wielomian nie był różniczkowalny, skoro szeregi potęgowe zbieżne są. W ogóle funkcja analityczna to taka, która rozwija się w szereg potęgowy.

[hawk_007]

Racja błąd w obliczeniach
Więc chcąc obliczyć pochodną takiej funkcji zespolonej mogę policzyć ją standardowo otrzymując:
\(\displaystyle{ f'(z)=3 z^{2}-1}\)
lub wyznaczyć pochodne cząstkowe:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial x} ; \frac{ \partial v}{ \partial x}; \frac{ \partial v}{ \partial y}; \frac{ \partial u}{ \partial y} }}\)
i na ich podstawie sprawdzić czy zachodzi warunek C-R a nastepnie zapisać pochodne cząstkowe w postaci równości:
\(\displaystyle{ f'(z)=\frac{ \partial u}{ \partial x}+j\frac{ \partial v}{ \partial x}}\)
oraz
\(\displaystyle{ f'(z)=\frac{ \partial v}{ \partial y}-j\frac{ \partial u}{ \partial y}}\)

i to wszystko?
bo spotykam się jeszcze z oznaczeniami \(\displaystyle{ z_{0}= x_{0}+j y_{0}}\)
i do tego zamiennie \(\displaystyle{ f'(z_{0})}\) oraz \(\displaystyle{ f'(z)}\) tak że można się pogubić bo jedna pochodna dla punktu \(\displaystyle{ f'(z_{0})}\) a druga dla????