Podniesienie postaci trygonometrycznej do potęgi 2010.

[ralph994]

\(\displaystyle{ 2 \sqrt{2} \left(\cos \frac{7 \pi }{4} + i \sin \frac{7 \pi }{4} \right)}\)

Jak podnieść tą postać trygonometryczną do potęgi 2010 ?? Stosuje wzór de moivre'a lecz nic sie nie chce skracać, prosiłbym o dokończenie tego zadania.

[chris_f]

\(\displaystyle{ \left(2\sqrt{2}(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4})\right)^{2010}=
\left(2\sqrt{2}\right)^{2010}\left(\cos\frac{2010\cdot7\pi}{4}+i\sin\frac{2010\cdot7\pi}{4}\right)=}\)
\(\displaystyle{ 2^{3015}\left(\cos\frac{14070\pi}{4}+i\sin\frac{14070\pi}{4}\right)=
2^{3015}\left(\cos\left(3516\pi+\frac32\pi\right)+i\sin\left(3516\pi+\frac32\pi\right)\right)=}\)
\(\displaystyle{ 2^{3015}\left(\cos\frac32\pi+i\sin\frac32\pi\right)}\)
No a chyba \(\displaystyle{ \sin\frac32\pi,\cos\frac32\pi}\) potrafisz policzyć.

[wodeczka94]

Mi wyszło coś takiego, ale nie podpisuje sie pod Tym i mógłby ktoś to sprawdzić
\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{2^2-2i^2}= \sqrt{4+4}= \sqrt{2\cdot 4}= 2\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos = \frac{2}{2\sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin = \frac{-2}{2\sqrt{2} } = -\frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
Postać trygonometryczna:
\(\displaystyle{ 2-2i=2\sqrt{2}(\cos \frac{7\pi}{4}-i\sin \frac{7\pi}{4})}\)

\(\displaystyle{ z^{2010}}\)
z rysunku wyszedł mi kąt 315* więc 7 \(\displaystyle{ \cdot}\) 45 więc \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ (2-2i)^{2010}=(2sqrt{2})^{2010}(cos frac{7pi}{4} - osin frac{7pi}{4})^{2010}=(2sqrt{2})^{2010}(cos frac{7*2010pi}{4}-isin frac{7*2010pi}{4})=(2sqrt{2})^{2010}(cos frac{(3517*4+2)pi}{4}-isin frac{(3517*4+2)pi}{4})=(2sqrt{2})^{2010}(cos 14068pi+frac{2pi}{4}-isin 14068pi+frac{2pi}{4})=
[(2sqrt{2})^{2010}(cos frac{2pi}{4}-isin frac{2pi}{4})=(2sqrt{2})^{2010}(cos frac{pi}{2}-isin frac{pi}{2})=(2sqrt{2})^{2010}(0-i)=(-2sqrt{2}i)^{2010}=(2sqrt{2}i)^{2009}}\)

[chris_f]

@wodeczka94 Po co liczysz postać trygonometryczna, skoro masz ją od razu podaną???
A co do przekształceń wielokrotności kąta mam spore wątpliwości.

[wodeczka94]

Rozwiązywałem zadanie od początku i tak mi się napisało
nie jestem też pewny co do mojej postaci trygonometrycznej, czy jest dobra. Szczególnie mam wątpliwości co do znaku przy sin

[chris_f]

Jak to rozwiązywałeś od początku?
Postać trygonometryczna była już podana \(\displaystyle{ 2\sqrt{2} \left( \cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4} \right)}\).
Ty zamieniłeś to na postać algebraiczną, znalazłeś moduł (który był od razu podany, potem argument - to samo).
No i wreszcie
\(\displaystyle{ \frac{2010\cdot7\pi}{4}=\frac{14070\pi}{4}=3516\pi+\frac{6\pi}{2}=3516\pi+\frac{3\pi}{2}}\)
Teraz możesz opuścić parzystą wielokrotność pi i zostanie \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{2}}\) jako argument.
Do tego
\(\displaystyle{ (2\sqrt{2})^{2010}=\left(2^{\frac32}\right)^{2010}=2^{3015}}\).

Ostatecznie dostaniemy
\(\displaystyle{ 2^{3015}(0-i)=-2^{3015}i}\)

[wodeczka94]

tak tak, tylko na początku zadania było (teraz tego nie widać) \(\displaystyle{ z=2-2i}\)

Porównując ogółem Twój a mój sposób, to chyba mam dobrze ? Bo na końcu isin wychodzi na -

[chris_f]

Wyszło Ci \(\displaystyle{ (2\sqrt{2}i)^{2009}}\).
Pomijam już błędny wynik w potęgowaniu dwójki, ale z potęgą \(\displaystyle{ i}\) też masz problem. U Ciebie jest
\(\displaystyle{ i^{2009}=i^{2008}\cdot i=(i^4)^{502}\cdot i=1^{502}\cdot i=i}\)
czyli minusa nie masz.