Zobrazowanie na płaszczyźnie zespolonej zbioru

wodeczka94 · Post autor: **wodeczka94** » 24 lis 2014, o 19:28

Cześć ! Mógłby mi ktoś to zrobić i przy okazji wytłumaczyć ? Nic a nic kompletnie z tego nie rozumiem
\(\displaystyle{ A=\left\{ z \in \CC : 5 \le |(-4+3i)z+3+i| \le 15 \text{ oraz } \frac{5 \pi }{6} < \arg z \le \frac{5 \pi }{3} \right\}}\)

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 24 lis 2014, o 20:35

zapisz, że \(\displaystyle{ z=x+yi}\) tak łatwiej będzie policzyć jaki ten moduł musi być.

Na pełne rozwiązanie bym nie liczył, ale na wskazówki oczywiście.

wodeczka94 · Post autor: **wodeczka94** » 24 lis 2014, o 20:39

Ehhh, niestety nic mi to nie mówi

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 24 lis 2014, o 20:43

Ta wartość bezwzględna to moduł liczby.

przyjmując, że\(\displaystyle{ z=x+yi}\)

rozwiąż odpowiednią nierówność:

\(\displaystyle{ 5 \le \left|(-4+3i)\left( x+yi\right) +3+i \right| \le 15}\)

Wymnóż wszystko pod modułem i uporządkuj (rozdzielając część urojoną od rzeczywistej), a pozniej skorzystaj, że \(\displaystyle{ |z| = \sqrt{x^2+y^2}}\)

wodeczka94 · Post autor: **wodeczka94** » 24 lis 2014, o 20:51

znaczy, że muszę obliczyć te wyrażenie? :
\(\displaystyle{ |(-4+3i)\left( x+yi\right) +3+i|}\)

Wychodzi mi:
\(\displaystyle{ |-4x-4yi+3ix-3y+3+i|}\)

Ale jak z tego obliczyc |z|?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 24 lis 2014, o 20:53

Nie zrobiłeś wszystkiego, co mówiłem. Oddziel teraz część rzeczywistą od urojonej.

wodeczka94 · Post autor: **wodeczka94** » 24 lis 2014, o 21:10

Kurcze, nie rozumiem, nie wiem jak to zrobić :/ Kompletnie tego nie rozumiem :/

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 24 lis 2014, o 21:16

\(\displaystyle{ \left|-4x-4yi+3ix-3y+3+i \right| = \left| \left( -4x-3y+3\right) + \left( -4y+3x+1\right)i \right| = \\ = \sqrt{\left( -4x-3y+3\right)^{2} + \left( -4y+3x+1\right)^2 }}\)

czyli pierwszy warunek:

\(\displaystyle{ 5 \le \sqrt{\left( -4x-3y+3\right)^{2} + \left( -4y+3x+1\right)^2 } \le 15}\)

gdzie \(\displaystyle{ z=x+yi}\)

wodeczka94 · Post autor: **wodeczka94** » 24 lis 2014, o 21:23

I teraz to pod pieriwastkiem trzeba wypotęgować, dodać i bedzie to |z| ?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 24 lis 2014, o 21:26

No teraz rachunki. Najlepiej rozbić na dwa przypadki (rozdzielić tę nierówność na dwie) i kazda stronami podnieść do kwadratu.

wodeczka94 · Post autor: **wodeczka94** » 24 lis 2014, o 21:49

Czyli:
\(\displaystyle{ 5 \le \sqrt{\left( -4x-3y+3\right)^{2}}\le 15}\)

i
\(\displaystyle{ 5 \le \sqrt{\left( -4y+3x+1\right)^2 } \le 15}\)
?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 24 lis 2014, o 21:57

oczywiście, że nie.

Chodziło o takie rozbicie.
\(\displaystyle{ \sqrt{\left( -4x-3y+3\right)^{2} + \left( -4y+3x+1\right)^2 } \le 15 \\ \wedge \\ \sqrt{\left( -4x-3y+3\right)^{2} + \left( -4y+3x+1\right)^2 } \ge 5}\)