Przeciwdziedzina funkcji zmiennej zespolonej

[hawk_007]

Jak rozwiązać zadanie w którym trzeba narysować przeciwdziedzinę funkcji:
\(\displaystyle{ w= \frac{1}{z}}\)
dla
\(\displaystyle{ 1 \le \left| z\right| \le \infty}\)

[yorgin]

Na takie zadania nie ma jednej dobrej reguły. Czasem wystarczy wyznaczyć wartość funkcji i spojrzeć, czasem trzeba spojrzeć na nie inaczej.

Tutaj na przykład przydaje się postać wykładnicza.

Mamy więc

\(\displaystyle{ w(z)=w(re^{it})=\frac{1}{r}e^{-it}}\)

A skoro \(\displaystyle{ |z|\geq 1}\), to \(\displaystyle{ t\in\RR}\) oraz \(\displaystyle{ r\geq 1}\), czyli (po stosownych przemyśleniach, ewentualnym obrazku itp) szukanym obrazem jest koło \(\displaystyle{ |w|\leq 1}\).

[hawk_007]

co do postaci wykładniczej wszystko rozumiem ok ale co kryje się pod sformułowaniem "stosowne przemyślenia i ewentualny obrazek"?-- 24 lis 2014, o 21:09 --a co w przypadku gdy mamy nastepujący przyklad:
\(\displaystyle{ w=jz}\)
dla
\(\displaystyle{ -1<Rez<1; Imz>0}\)

[yorgin]

co do postaci wykładniczej wszystko rozumiem ok ale co kryje się pod sformułowaniem "stosowne przemyślenia i ewentualny obrazek"?

Kryje się obrazowe wytłumaczenie tego, co się dzieje. Zrób rysunek i sprawdź, jak dana funkcja przekształca daną liczbę zespoloną.

a co w przypadku gdy mamy nastepujący przyklad:
\(\displaystyle{ w=jz}\)
dla
\(\displaystyle{ -1<Rez<1; Imz>0}\)

\(\displaystyle{ j=e^{i\frac{\pi}{2}}}\), więc \(\displaystyle{ w=re^{it+i\frac{\pi}{2}}}\) czyi jest to przyrost argumentu o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\). Czyli zwykły obrót.