Problem z rozwiązaniem równania

[wodeczka94]

Cześć! Mam do rozwiązania równanie:
\(\displaystyle{ z^2-2z+1-2i=0}\)
Próbuję, ale coś mi nie wychodzi. 2 delta wychodzi na - i nie wiem co dalej. Mam tak:
\(\displaystyle{ \Delta=(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot (1-2i) \\[1ex]
\Delta=4-4+8i \\[1ex]
\Delta=8i \\[1ex]
\sqrt{\Delta}=a+bi ; a-bi \\[1ex]
\begin{cases} a^2+b^2=0\\ 2abi=8i \end{cases} \\[1ex]
b= \frac{4}{a} \\[1ex]
a^2+\frac{16}{a^2}=0 \\[1ex]
t=a^2 \quad \Big| t>0 \\[1ex]
t+ \frac{16}{t}=0| \cdot t \\[1ex]
t^2+16=0 \\[1ex]
\Delta=0-4 \cdot 16 \\[1ex]
\Delta=-64}\)

[ucwmiu]

Delta jest ok. Dalej tak, jak dla równań kwadratowych o współczynnikach rzeczywistych, tzn:

\(\displaystyle{ x = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}}\).

Skoro \(\displaystyle{ \Delta = 8i}\), to będą dwa pierwiastki zespolone z \(\displaystyle{ \Delta}\) stopnia dwa, prawda? Wstawiasz je po prostu do wzoru na \(\displaystyle{ x}\) i masz

[kerajs]

Cześć! Mam do rozwiązania równanie:
\(\displaystyle{ z^2-2z+1-2i=0}\)
Próbuję, ale coś mi nie wychodzi. 2 delta wychodzi na - i nie wiem co dalej. Mam tak:
\(\displaystyle{ \Delta=(-2)^2-4*1*(1-2i)}\)
\(\displaystyle{ \Delta=4-4+8i}\)
\(\displaystyle{ \Delta=8i}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{Delta}=a+bi ; a-bi}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2\; {\red \; - \ }b^2=0\\ 2abi=8i \end{cases}}\)

-- 24 lis 2014, o 16:54 --

Skoro \(\displaystyle{ \Delta = 8i}\), to \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = \pm i2\sqrt{2}}\), prawda? .

Niestety nie bo
\(\displaystyle{ \left( i2\sqrt{2}\right) ^{2} =-8 \neq i8}\)

[wodeczka94]

Aaaa. No faktycznie, nie dopatrzyłem. Dzięki ! Mógłbyś mi jeszcze tylko napisac, czy dobrze rozwiązałem ?
\(\displaystyle{ z^-2z+1-2i=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=(-2)^2-4*1*(1-2i)}\)
\(\displaystyle{ \Delta=4-4+8i}\)
\(\displaystyle{ \Delta=8i}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{Delta}={a+bi ; a-bi}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2-b^2=0\\ 2abi=8i \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ b= \frac{4}{a}}\)
\(\displaystyle{ a^2- \frac{16}{a^2}=0}\)
\(\displaystyle{ t=a^2 | t>0}\)
\(\displaystyle{ t- \frac{16}{t}=0 | *t}\)
\(\displaystyle{ t^2-16=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=0-4*(-16)}\)
\(\displaystyle{ \Delta=64}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{Delta}=8}\)
\(\displaystyle{ t1= \frac{-8}{2}}\)
\(\displaystyle{ t1=-4}\) <--- Sprzeczne
\(\displaystyle{ t2= \frac{8}{2}}\)
\(\displaystyle{ t2=4}\)
\(\displaystyle{ t>0 | <=> t=4}\)
\(\displaystyle{ a^2=4}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=2 \\ b=2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=-2 \\ b=-2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{Delta}={2+2i ; -2-2i}}\) <--- tego nie jestem pewien
\(\displaystyle{ z1= \frac{2+2+2i}{2}}\)
\(\displaystyle{ z1= \frac{4+2i}{2}=2+2i}\)
\(\displaystyle{ z2= \frac{2-2-2i}{2}}\)
\(\displaystyle{ z2= \frac{-2i}{2}}\)

[ucwmiu]

Jest ok, ale z kompletnie nie rozumiem, dlaczego tak liczyłeś ten pierwiastek z wyróżnika

Jest ogólny wzór (na \(\displaystyle{ k}\)-ty pierwiastek \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\):

\(\displaystyle{ z_k = \sqrt[n]{z}\left(\cos (\frac{\phi + 2k\pi}{n}) + i\sin (\frac{\phi + 2k\pi}{n})}\), gdzie \(\displaystyle{ \phi = Arg(z)}\).

[wodeczka94]

Mógłbyś mi jeszcze sprawdzić, tak dla potwierdzenia 2 przyklad, czy dobrze zorbilem ?

\(\displaystyle{ z^2+(1+i)z+b+3i=o}\)
\(\displaystyle{ \Delta=(1+i)^2-4*1*(6+3i)}\)
\(\displaystyle{ \Delta=1+2i+i^2-24-12i}\)
\(\displaystyle{ \Delta=-24-10i}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+b^2=-24\\ 2abi=-10i\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ b= - \frac{5}{a}}\)
\(\displaystyle{ a^2- \frac{25}{a^2}=-24}\)
\(\displaystyle{ a^2=t | t>0}\)
\(\displaystyle{ t- \frac{25}{t}+24=0 | *t}\)
\(\displaystyle{ t^2+24t-25=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=24^2-4*(-25)}\)
\(\displaystyle{ \Delta=676}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=26}\)
\(\displaystyle{ t1= \frac{-24-26}{2}}\)
\(\displaystyle{ t1= sprzeczne}\)
\(\displaystyle{ t2={-24+26}{2}}\)
\(\displaystyle{ t2=1}\)
\(\displaystyle{ t>0 <=> t=1 <=> a^2=1}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=1\\ b=-5\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=-1\\ b=5\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=1-5i ; -1+5i}\)
\(\displaystyle{ z1= \frac{-1-i-1+5i}{2}}\)
\(\displaystyle{ z1= \frac{-2+4i}{2}}\)
\(\displaystyle{ z1=-1+2i}\)
\(\displaystyle{ z2= \frac{-1-i-1+5i}{2}}\)
\(\displaystyle{ z2= \frac{-2+4i}{2}}\)
\(\displaystyle{ z2= -1+2i}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ \sqrt{Delta}={2+2i ; -2-2i}}\) <--- tego nie jestem pewien

Tu zawsze otrzymasz liczby przeciwne, Możesz posługiwać sie tylko jedną z nich stosując wzory na pierwiastki które znasz ze szkoły sredniej. Stosując drugą masz dokładnie te same pierwiastki.

\(\displaystyle{ z1= \frac{2+2+2i}{2}}\)
\(\displaystyle{ z1= \frac{4+2i}{2}=2+2i}\)
\(\displaystyle{ z2= \frac{2-2-2i}{2}}\)
\(\displaystyle{ z2= \frac{-2i}{2}}\)

Tu chyba żle przepisałeś z kartki bo błąd jest w ostatnim przekształceniu na z1. Rozwiązanie to \(\displaystyle{ z _{1}=2+i \vee z _{2}=-i}\)

\(\displaystyle{ z1= \frac{-1-i-1+5i}{2}}\)
\(\displaystyle{ z1= \frac{-2+4i}{2}}\)
\(\displaystyle{ z1=-1+2i}\)
\(\displaystyle{ z2= \frac{-1-i-1+5i}{2}}\)
\(\displaystyle{ z2= \frac{-2+4i}{2}}\)
\(\displaystyle{ z2= -1+2i}\)

Tu dwukrotnie policzyłeś ten sam pierwiastek. Powinno być
\(\displaystyle{ z _{1} = \frac{-1-i-1+5i}{2}=1+i2 \vee z _{2} = \frac{-1-i+1-5i}{2}=-i3}\)

Jest ok, ale z kompletnie nie rozumiem, dlaczego tak liczyłeś ten pierwiastek z wyróżnika

Metoda stosowana przez wodeczka94 jest poprawna i często stosowana w równaniu kwadratowym. Pozwala znależć postać ogólną pierwiastka kwadratowego z dowolnej liczby zespolonej , zwłaszcza takiej której postać trygonometryczna jest kłopotliwa (a w pierwszym przykładzie tak nie jest i tu faktycznie wzór de Moivrea będzie szybszy). Dla pierwiastków wyższego stopnia można próbowac ja stosować, ale część obliczeniowa jest na tyle odstręczająca że stosuje się wzór który podałeś.