wzór de moivre'a

confusion37 · Post autor: **confusion37** » 22 lis 2014, o 19:40

Obliczyć korzystając z de Moivre'a
\(\displaystyle{ (i-2)^{24}}\) \(\displaystyle{ \cdot (13+9i)^{8}}\) Planuję najpierw policzyć pierwszy nawias, a potem drugi.

cosinus w pierwszym nawiasie wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{-2\sqrt{5}}{5}}\) , a sinus \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{5}}{5}}\) . Jeśli dobrze policzyłam to jak mam znaleźć kąt?

pyzol · Post autor: **pyzol** » 22 lis 2014, o 20:01

Spróbuj policzyć ile wynosi:
\(\displaystyle{ (i-2)^{3} \cdot (13+9i)}\)
Potem podnieś do potęgi ósmej.

confusion37 · Post autor: **confusion37** » 22 lis 2014, o 20:10

Dlaczego mam pomnożyć przez \(\displaystyle{ (i-2)^{3}}\) ? Myślałam, żeby po prostu pierwszy nawias obliczyć ze wzoru de Moivre'a, a potem drugi i je wymnożyć. Ale w prostych przykładach kąt wychodzi taki, że mogę skorzystać z podstawowej tabeli. Tutaj się trochę pogubiłam

pyzol · Post autor: **pyzol** » 22 lis 2014, o 20:16

No tu taki fajny nie wychodzi, jak zauważyłaś. Od razu naszło mnie, że skoro:
\(\displaystyle{ (i-2)^{24} \cdot (13+9i)^{8} =\left( (i-2)^{3} \cdot (13+9i) \right)^8}\)
to dla \(\displaystyle{ (i-2)^{3} \cdot (13+9i)}\) kąt może już wyjdzie fajny.

confusion37 · Post autor: **confusion37** » 22 lis 2014, o 20:32

Ale to chyba nie ma znaczenia czy zapiszę tak czy tak, kąt wyjdzie ten sam. Mam wzór de Moivre'a \(\displaystyle{ z ^{n} = r ^{n} (\cos n \alpha + i \sin n \alpha)}\) .
no i szukam póki co alfy z pierwszego nawiasu.

pyzol · Post autor: **pyzol** » 22 lis 2014, o 20:40

Nie chodzi o liczenie od razu kąta.
\(\displaystyle{ (i-2)^{3} \cdot (13+9i) =\left( i^3+6+12i-8 \right)\left( 13+9i\right)= \left( -2+11i\right)\left( 13+9i\right)=-125+125i}\)
teraz sobie kąt i promień policz. Następnie podnieś do potęgi ósmej.

confusion37 · Post autor: **confusion37** » 22 lis 2014, o 20:53

Liczę \(\displaystyle{ r= \sqrt{a^{2}+ b^{2}}}\) z czego nadal wychodzą niefajne liczby. \(\displaystyle{ a=-125,b=125}\)

pyzol · Post autor: **pyzol** » 22 lis 2014, o 20:55

Jak niefajne:
\(\displaystyle{ -125+125i=125(-1+i)\\
r=125\sqrt{2}}\)
Kąt od reki widać, że \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{4}}\)

confusion37 · Post autor: **confusion37** » 22 lis 2014, o 21:22

Nie widzę od ręki. Myślałam, że kąt wynosi \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\)
PS. przepraszam, że tak męczę

pyzol · Post autor: **pyzol** » 22 lis 2014, o 21:24

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) jest dla \(\displaystyle{ 1+i}\), tutaj mamy drugą ćwiartkę.

confusion37 · Post autor: **confusion37** » 22 lis 2014, o 21:27

Już wszystko rozumiem, bardzo dziękuję za poświęcony czas!