Równanie na liczbach zespolonych

[Elek112]

Witam,
mam problem z jednym równaniem, widziałem do niego skrócone rozwiązanie, ale jakoś nie rozumiem pewnych przeskoków. Mógłby mi ktoś napisać łopatologicznie każde przejście?

\(\displaystyle{ z^{4} \cdot |z|= 8 \left( \overline{z} \right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ z^{4} \cdot |z| \left( \cos \left( 4 \alpha \right) +j\sin \left( 4 \alpha \right) \right) = 8 \left( \overline{z} \right) ^{2} \left( \cos \left( -2\alpha \right) +j\sin \left( -2\alpha \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ |z|^{3}=8}\)
\(\displaystyle{ |z|=2}\)
\(\displaystyle{ z=2 \left( \cos \left( \frac{k \pi}{3} \right) +j\sin \left( \frac{k \pi}{3} \right)}\)

[octahedron]

\(\displaystyle{ z^{4} \cdot |z| \left( \cos \left( 4 \alpha \right) +j\sin \left( 4 \alpha \right) \right) = 8 \left( \overline{z} \right) ^{2} \left( \cos \left( -2\alpha \right) +j\sin \left( -2\alpha \right) \right)}\)

Powinno być:
\(\displaystyle{ {\red|z|}^{4} \cdot |z| \left( \cos \left( 4 \alpha \right) +j\sin \left( 4 \alpha \right) \right) = 8 {\red|z|}^{2} \left( \cos \left( -2\alpha \right) +j\sin \left( -2\alpha \right) \right)}\)