Rozkład wielomianu na czynniki zespolone.

[Demolax66]

Mam taki wielomian
\(\displaystyle{ W(z)= z^{4}+3z^{2} +9}\)
W jaki sposób rozłożyć go na czynniki zespolone? Czy pierwszy pierwiastek mam jakimś cudem odgadnąć?

[marika331]

Zmienna pomocnicza \(\displaystyle{ z ^{2}=t}\)

[Demolax66]

To dostaje równanie: \(\displaystyle{ t^{2} +3t+9=0}\)
Wychodzi delta 27i a co z tym idzie brzydkie pierwiastki...
Wyszło.


Ale mam bardziej merytoryczne pytanie. W tym przykładzie akurat żeby ruszyć trzeba było pomocnicza niewiadomą. A czy jest jakiś inny sposób żeby to zrobić?
Dajmy na to mam przykład taki: \(\displaystyle{ z^{4}+z^{3}+2z^{2}+z+1=0}\)
Tutaj jak widać motyw z (t) nie przejdzie. Rzeczywistych pierwiastków znów nie ma, są tylko zespolone jest jakaś metoda żeby ruszyć każdy tego typu przykład?

[LipaMat]

Wychodzi delta \(\displaystyle{ \sqrt{-27}}\). I teraz rozwiązujesz takie równanie \(\displaystyle{ z= \sqrt{-27}}\) czyli podstawiasz \(\displaystyle{ z=a+bi}\) i podnosisz do kwadratu i rozwiązujesz układ równań, gdzie przyrównujesz \(\displaystyle{ a^2 - b^2 = -27}\)oraz \(\displaystyle{ 2ab = 0}\) i jedziesz dalej.

[Demolax66]

Delta \(\displaystyle{ \sqrt{-27}=\sqrt{(-1) \cdot 27}}\) czyli i\(\displaystyle{ \sqrt{27}}\)

[LipaMat]

No dobrze, rozumiem. Ale zauważ, że jak zrobisz to, co Ci powiedziałem, czyli \(\displaystyle{ z=i \sqrt{27}}\) i podniesiesz to do kwadratu to i tak później otrzymasz \(\displaystyle{ -27}\), więc nie ma sensu zamieniać to na \(\displaystyle{ i}\).

[Demolax66]

Kwestia przyzwyczajenia i tego kto jak liczy I tak nie jestem w stanie napisać tutaj tego wszystkiego co mam na kartce. Tamten przykład zamknięty ładnie wyszło i co najważniejsze dobrze.
Teraz pomyślmy dalej odnośnie postu wyżej.-- 21 lis 2014, o 21:53 --Nikt? Nic? Serio?