Suma Cosinusów.

[LipaMat]

Witam, mam do rozwiązania pewien problem:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \cos kx = \frac{\cos \left( \frac{n+1}{2} \right) \alpha \cdot \sin \left( \frac{n}{2} \right) \alpha }{\sin \left( \frac{ \alpha }{2} \right) }}\)

Najpierw zrobiłem to indukcją i wyszło mi dosyć blisko, bo dla \(\displaystyle{ n+1}\) wychodziło:

\(\displaystyle{ \frac{2\sin (n+1) \alpha \cdot \cos (n+2) \alpha }{\sin \left( \frac{ \alpha }{2} \right) }}\)

No ale niestety w tym momencie już nic nie mogę zrobić i pomyślałem, że można to zrobić na liczbach zespolonych.

Otóż wiem, że lewa i prawa strona równości jest odpowiednio równa części rzeczywistej i urojonej sumy: \(\displaystyle{ z + z^2 + z^3 +\ldots+ z^n = z \cdot \frac{z^n - 1}{z - 1}}\)

No i podstawiam za \(\displaystyle{ z = \cos \alpha + i\sin \alpha}\) i działam. Po wielu wielu działaniach wychodzi mi:
\(\displaystyle{ \frac{\cos (n+1) \alpha + i\sin (n+1) \alpha - (\cos \alpha + i\sin \alpha) }{\cos \alpha +i\sin \alpha - 1}}\) I w tym momencie podzieliłbym to na część rzeczywistą i na część urojoną ale nie mam pojęcia czy się da i jak to zrobić. Proszę o wskazówki i dalsze pociągnięcie tematu.

-- 21 lis 2014, o 13:31 --

Jest w stanie ktoś pomóc w ogarnięciu tego?