Pytanie odnośnie liczb zespolonych

[zolax]

Witam mam pytanie odnośnie tego przykładu:
W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie
\(\displaystyle{ x^{3} + x^{2} - x + 2}\)

Podzieliłem ten wielomian przez x + 2 i mam
\(\displaystyle{ (x+2)(x^{2}-x+1)}\)
\(\displaystyle{ x = 2}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 1 - 4 = -3 = 3i^{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{1} = \frac{1- \sqrt{3i} }{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = \frac{1+ \sqrt{3i} }{2}}\)

Muszę coś dalej liczyć czy taka postać wystarczy?

[Arytmetyk]

\(\displaystyle{ x _{1} =-2}\)

nie musisz nic więcej liczyć, to już są wszystkie rozwiązania tego równania

[szw1710]

Tu w ogóle nie ma równania, więc co chcesz rozwiązywać? Niestety tak studenci piszą. Nie wiedzą, że w równaniu porównuje się dwie liczby. Tak więc trzy liczby, które wskazujesz, stanowią rozwiązanie równania \(\displaystyle{ x^{3} + x^{2} - x + 2\color{red}\mathbf{=0}.}\) Jasnym jest, że \(\displaystyle{ x_1=-2}\). W każdym razie gdybym za to zadanie przyznawał maksymalnie 5 punktów, otrzymałbyś 1.

[zolax]

W zeszycie mam dobrze ale dzięki za poprawienie. Mam jeszcze problem z takim przykładem:
\(\displaystyle{ z^{2}-4z+13}\)
Jak to ugryźć?

[szw1710]

Czemu masz z tym problem? Poprzednie zadanie było analogiczne. Ale pisz porządnie? Co masz zrobić z tym napisem. Znów brak jakiegokolwiek równania. Dwója!!!

[zolax]

Ok już sobie poradziłem nie taki diabeł straszny. Wyszło mi :
\(\displaystyle{ \Delta = 16-4*1*13 = -36 = 36i^2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = 6i}\)
\(\displaystyle{ x_{1} = \frac{4-6i}{2} = 2-3i}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = 2+3i}\)

Dlaczego za poprzednie 1pkt?

[szw1710]

A za to zero!!!

Bo nie piszesz, że rozwiązujesz równanie. Masz rozwiązać równanie \(\displaystyle{ z^{2}-4z+13=0}\). Sam napis \(\displaystyle{ z^{2}-4z+13}\) niewiele mówi i co najwyżej może odgrywać rolę estetyczną. \(\displaystyle{ z}\) z dwójką u góry, kreseczka, 4, \(\displaystyle{ z}\), krzyżyk i na końcu 13. Nic więcej to nie znaczy.

Mam nadzieję, że moje ostre uwagi w tej kwestii pomogą Ci nie tracić punktów przez własne niedbalstwo.

[zolax]

Rozumiem, czyli prawidłowy zapis powinien wyglądać tak:

\(\displaystyle{ z^{2}-4z+13=0}\)

Dziękuję za wskazanie błędu przyda się
Czy wynik wyszedł mi dobry?

[szw1710]

Właśnie tak powinien wyglądać zapis. Pierwiastki równania wyznaczyłeś poprawnie.

[zolax]

Jeszcze raz dziękuję
Mogę prosić jeszcze o podpowiedź jak rozwiązać to:
\(\displaystyle{ 1+(1+i)+(1+i)^2+\ldots+(1+i)^{11}}\)
Wiem, że jest to suma 11 elementów ciągu geometrycznego gdzie:
\(\displaystyle{ a_{1} = 1}\)
\(\displaystyle{ q = (1+i)}\)
Mi wyszło coś takiego ale nie jestem pewny czy dobrze to zrobiłem
\(\displaystyle{ S_{11} = 1 \cdot \frac{1 - (1+i)^{11}}{1-(1+i)} = 1 \cdot \frac{1 - (1+i)^{10} \cdot (1+i)}{i} =
1 \cdot \frac{1 - [(1+i)^{2}]^{5} \cdot (1+i)}{i} = 1 \cdot \frac{1 - (2i)^{5} \cdot (1+i)}{i} =
1 \cdot \frac{1 - 32i \cdot (1+i)}{i} = 1 \cdot \frac{1 - 32i + 32}{i} = 1 \cdot \frac{(1 - 32i + 32) \cdot (i)}{i \cdot (-i)}
= -i-32-32i = -32 -i(1+32)}\)