Zbiory spełniające podane warunki na płaszczyźnie.

[Dreamer1x6xX]

\(\displaystyle{ Re(z^{3}) \ge Im(z^{3})}\)

\(\displaystyle{ z^{3}=\left( x+jy\right)^{3}=x^{3}+3x^{2}jy-3xy^{2}-y^{3}j}\)

Wracając do nierówności:

\(\displaystyle{ x^{3}-3xy^{2} \ge 3x^{2}y-y^{3}}\)

Pytanie jak rozwiązać taką nierówność? I czy dobrze wyliczyłem chociaż ten \(\displaystyle{ z^{3}}\) i część urojoną i rzeczywistą?

[kerajs]

Przerzuć wszystko na jedną stronę i uporządkuj względem jednej z nniewiadomych

Łatwiej jest to zrobić tak:
\(\displaystyle{ z^3=\left|z \right|^3(\cos 3 \alpha +i \sin 3 \alpha )}\)
Co wstawiając do warunku \(\displaystyle{ Re(z^3) \ge Im(z^3)}\) daje nierówność
\(\displaystyle{ \left|z \right|^3 \cos 3 \alpha \ge \left|z \right|^3 \sin 3 \alpha}\)
To już umiesz zrobić ?

[Dreamer1x6xX]

Przerzuć wszystko na jedną stronę i uporządkuj względem jednej z nniewiadomych

Łatwiej jest to zrobić tak:
\(\displaystyle{ z^3=\left|z \right|^3(\cos 3 \alpha +i \sin 3 \alpha )}\)
Co wstawiając do warunku \(\displaystyle{ Re(z^3) \ge Im(z^3)}\) daje nierówność
\(\displaystyle{ \left|z \right|^3 \cos 3 \alpha \ge \left|z \right|^3 \sin 3 \alpha}\)
To już umiesz zrobić ?

Nie:D

Jak uporządkować względem jednej zmiennej?

Tzn. mogę podzielić tą nierówność co podałeś po prostu przez \(\displaystyle{ |z|^{3}}\)
Ale nawet jeśli to jak załatwić te cos i sin?

Masz jakiś pomysł na to:

\(\displaystyle{ \left| \frac{z+3}{z-2j}\right| \ge 1}\)

Na początku pomnożyć przez sprzężenie czy jak?

[kerajs]

Jak uporządkować względem jednej zmiennej?

x to niewiadoma , y to parametr
\(\displaystyle{ x^3 -(3y)x^3 -(3y^2)x|y^3 \ge 0}\)
sprawdzasz czy wielomian zeruje \(\displaystyle{ \pm y , \pm y^2 \pm y^3}\). Jesli żaden z nich to stosujesz wzory Cardano

Tzn. mogę podzielić tą nierówność co podałeś po prostu przez \(\displaystyle{ |z|^{3}}\)
Ale nawet jeśli to jak załatwić te cos i sin?

Podzielenie to pozbycie sie rozwiązania z=0. Raczej wyciągnij sześcian modułu przed nawias
\(\displaystyle{ |z|^{3}(\cos 3x-\sin 3x) \ge 0}\)
Musisz rozwiazać zwykłą i łatwą nierówność trygonometryczną
\(\displaystyle{ \cos 3x-\sin 3x \ge 0}\)

[Dreamer1x6xX]

Jak uporządkować względem jednej zmiennej?

x to niewiadoma , y to parametr
\(\displaystyle{ x^3 -(3y)x^3 -(3y^2)x|y^3 \ge 0}\)
sprawdzasz czy wielomian zeruje \(\displaystyle{ \pm y , \pm y^2 \pm y^3}\). Jesli żaden z nich to stosujesz wzory Cardano

Tzn. mogę podzielić tą nierówność co podałeś po prostu przez \(\displaystyle{ |z|^{3}}\)
Ale nawet jeśli to jak załatwić te cos i sin?

Podzielenie to pozbycie sie rozwiązania z=0. Raczej wyciągnij sześcian modułu przed nawias
\(\displaystyle{ |z|^{3}(\cos 3x-\sin 3x) \ge 0}\)
Musisz rozwiazać zwykłą i łatwą nierówność trygonometryczną
\(\displaystyle{ \cos 3x-\sin 3x \ge 0}\)

Co to są wzory Cardano:D? Pomożesz z tą drugą nierównością, bo chce przejść do macierzy:P

[octahedron]

\(\displaystyle{ \left| \frac{z+3}{z-2j}\right| \ge 1\\
z\ne 2j\\
|z+3|\ge|z-2j|\\}\)

Czyli wszystkie punkty leżące bliżej \(\displaystyle{ -3}\) niż \(\displaystyle{ 2j}\).

[Dreamer1x6xX]

\(\displaystyle{ \left| \frac{z+3}{z-2j}\right| \ge 1\\
z\ne 2j\\
|z+3|\ge|z-2j|\\}\)

Czyli wszystkie punkty leżące bliżej \(\displaystyle{ -3}\) niż \(\displaystyle{ 2j}\).

To już mogę zaznaczać czy nie?

I wróćmy do nierówności z tematu, wielomian:

\(\displaystyle{ x^{3}-(3y)x^{2}-(3y^{2})x+y^{3} \ge 0}\)

zeruje się dla \(\displaystyle{ W(-y)=0}\) i po zastosowaniu wzoru Homera:

\(\displaystyle{ (x+y)(x^{2}-(4y)x+y^{2}) \ge 0}\) Co dalej jak poradzić sobie z tym trójmianem kwadratowym, bo zbytnio nie potrafię rozwiązać nierówności \(\displaystyle{ \cos3x-sin3x \ge 0}\)

[octahedron]

\(\displaystyle{ \left| \frac{z+3}{z-2j}\right| \ge 1\\
z\ne 2j\\
|z+3|\ge|z-2j|\\}\)
Czyli wszystkie punkty leżące bliżej \(\displaystyle{ -3}\) niż \(\displaystyle{ 2j}\)

Przepraszam, nie bliżej, tylko dalej. A zaznaczać już można.-- 17 lis 2014, o 23:27 --\(\displaystyle{ \cos 3x-\sin 3x\ge 0\\
\sin\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)-\sin 3x\ge 0\\
2\cos\frac{\pi}{4}\sin\left(\frac{\pi}{4}-3x\right)\ge 0\\
\sin\left(\frac{\pi}{4}-3x\right)\ge 0\\
\ldots\\}\)

[Dreamer1x6xX]

\(\displaystyle{ \left| \frac{z+3}{z-2j}\right| \ge 1\\
z\ne 2j\\
|z+3|\ge|z-2j|\\}\)
Czyli wszystkie punkty leżące bliżej \(\displaystyle{ -3}\) niż \(\displaystyle{ 2j}\)

Przepraszam, nie bliżej, tylko dalej. A zaznaczać już można.

-- 17 lis 2014, o 23:27 --

\(\displaystyle{ \cos 3x-\sin 3x\ge 0\\
\sin\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)-\sin 3x\ge 0\\
2\cos\frac{\pi}{4}\sin\left(\frac{\pi}{4}-3x\right)\ge 0\\
\sin\left(\frac{\pi}{4}-3x\right)\ge 0\\
\ldots\\}\)

A z cos co się stało:P?

[octahedron]

Jest dodatni, czyli można podzielić.

[kerajs]

1.

I wróćmy do nierówności z tematu, wielomian:
\(\displaystyle{ x^{3}-(3y)x^{2}-(3y^{2})x+y^{3} \ge 0}\)
zeruje się dla \(\displaystyle{ W(-y)=0}\) i po zastosowaniu wzoru Homera:
\(\displaystyle{ (x+y)(x^{2}-(4y)x+y^{2}) \ge 0}\)

Nadal traktujesz y-grek jako parametr do znalezienia postaci iloczynowej trójmianu,
Liczysz wyróżnik: \(\displaystyle{ \Delta=16y^2-4y^2}\) i pierwiastki ........
Masz:
\(\displaystyle{ (x+y)(x-y(2+ \sqrt{3} ) )(x-y(2- \sqrt{3} )) \ge 0}\)
co daje obszary wycięte z płaszczyzny zespolonej przez trzy proste \(\displaystyle{ x+y=0, \ \ x-y(2+ \sqrt{3} ) =0, \ \ x-y(2- \sqrt{3})=0}\)
Wiesz jak sprawdzić który z 6 otrzymanych wycinków z płaszczyzny Arganda spełnia nierówność?

Abstrahując od niezamierzonego lapsusa warto zacząć dzielić pisemnie wielomiany zamiast używać schematu Hornera (nie Homera) który mozna zastosować tylko dla dzielenia przez dwumian x-k.

Wzory Cardano to wzory na pierwiastki równania 3 stopnia. Znajdziesz w : Tablice matematyczne, Poradniki Matematyczne, ew. Internet.


2.

bo zbytnio nie potrafię rozwiązać nierówności \(\displaystyle{ \cos3x-sin3x \ge 0}\)

Jestem zdziwiony, gdyż powinieneś umieć rozwiązać tę nierówność na kilka sposobów.
Ostatecznie możesz podstawić \(\displaystyle{ 3x=t}\)i odzytać rozwiazanie nierówności \(\displaystyle{ \cos t \ge \sin t}\) z wykresu
\(\displaystyle{ t \in \left\langle \frac{ -3\pi }{4} +k2 \pi ;\frac{ \pi }{4} +k2 \pi \right\rangle \Rightarrow x \in \left\langle \frac{ -3\pi }{12} +k \frac{2}{3} \pi ;\frac{ \pi }{12} +k \frac{2}{3 } \pi \right\rangle}\)
A to potrafisz zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej?


3.

Czyli wszystkie punkty leżące bliżej \(\displaystyle{ -3}\) niż \(\displaystyle{ 2j}\).

To już mogę zaznaczać czy nie?

I tak musisz wyznaczyć równanie symetralnej odcinka zawartego między punktami \(\displaystyle{ -3+i0}\)
a \(\displaystyle{ 0+i2}\)
Przypuszczam że szybciej je dostaniesz z porównania modułów
\(\displaystyle{ \sqrt{(x+3)^2+y^2} \ge \sqrt{x^2+(y-2)^2}}\) co już pewnie potrafisz.



Sprawy organizacyjne
- Jeśli chcesz zapytać o nowy , zupełnie inny wątek to utwórz nowy temat lub zaczekaj do dokończenia aktualnie trwającego. Innaczej robi się zupełny bałagan co widać po tym temacie.
- Po co cytujesz całe wypowiedzi? Chcąc zwrócić uwagę na konkretna sprawę, to tylko ją umieść w cytacie.