\(\displaystyle{ \sqrt[3]{(3+4i)^6}}\)
Trzeba to obliczyć. Jak to trzeba zrobić? Bo chyba nie zapisać jako tylko to co w nawiasie do kwadratu, bo mają być trzy pierwiastki. Trzeba to wpierw podnieść do szóstej, policzyć te kąty kalkulatorem (bo wyjdzie \(\displaystyle{ cos \varphi = \frac{3}{5}}\) i \(\displaystyle{ sin \varphi = \frac{4}{5}}\), i dalej już standardowo?
Standardowa potęga ale zaćmienie mnie przeszło
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Standardowa potęga ale zaćmienie mnie przeszło
Jest na to bardzo ładny sposób:
jednym z pierwiastków będzie oczywiście \(\displaystyle{ (3+4i)^{2}}\), a pozostałe wyliczysz, mnożąc \(\displaystyle{ (3+4i)^{2}}\) przez pierwiastki zespolone 3. stopnia z jedynki różne od \(\displaystyle{ 1}\).
jednym z pierwiastków będzie oczywiście \(\displaystyle{ (3+4i)^{2}}\), a pozostałe wyliczysz, mnożąc \(\displaystyle{ (3+4i)^{2}}\) przez pierwiastki zespolone 3. stopnia z jedynki różne od \(\displaystyle{ 1}\).
Standardowa potęga ale zaćmienie mnie przeszło
Czyli wyszły mi takie pierwiastki. Coś chyba zepsułem...
\(\displaystyle{ \omega _{1} = 1}\)
\(\displaystyle{ \omega _{2} = \sqrt{3}i - 2}\)
\(\displaystyle{ \omega _{3} = (3+4i)^2}\)
\(\displaystyle{ \omega _{1} = 1}\)
\(\displaystyle{ \omega _{2} = \sqrt{3}i - 2}\)
\(\displaystyle{ \omega _{3} = (3+4i)^2}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Standardowa potęga ale zaćmienie mnie przeszło
Rzeczywiście, nie za dobrze to wygląda:
\(\displaystyle{ 1=\cos 2k\pi+i\sin 2k\pi, k \in \ZZ}\)
A zatem ze wzoru de Moivre'a pierwiastki trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\) są postaci
\(\displaystyle{ \cos \frac{2}{3}k\pi}\). Kładąc np. \(\displaystyle{ k=0,1,2}\) dostajemy wszystkie trzy, przy czym dla \(\displaystyle{ k=0}\) uzyskamy \(\displaystyle{ 1}\), więc raczej zajmijmy się pozostałymi:
\(\displaystyle{ \cos \frac{2}{3}\pi+i\sin \frac{2}{3}\pi= \frac{1}{2}- \frac{ \sqrt{3} }{2}i \\
\cos \frac{4}{3}\pi+i\sin \frac{4}{3}\pi= -\frac{1}{2}- \frac{ \sqrt{3} }{2}i}\)
I teraz przez nie pomnóż.
\(\displaystyle{ 1=\cos 2k\pi+i\sin 2k\pi, k \in \ZZ}\)
A zatem ze wzoru de Moivre'a pierwiastki trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\) są postaci
\(\displaystyle{ \cos \frac{2}{3}k\pi}\). Kładąc np. \(\displaystyle{ k=0,1,2}\) dostajemy wszystkie trzy, przy czym dla \(\displaystyle{ k=0}\) uzyskamy \(\displaystyle{ 1}\), więc raczej zajmijmy się pozostałymi:
\(\displaystyle{ \cos \frac{2}{3}\pi+i\sin \frac{2}{3}\pi= \frac{1}{2}- \frac{ \sqrt{3} }{2}i \\
\cos \frac{4}{3}\pi+i\sin \frac{4}{3}\pi= -\frac{1}{2}- \frac{ \sqrt{3} }{2}i}\)
I teraz przez nie pomnóż.