Standardowa potęga ale zaćmienie mnie przeszło

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
ponurasek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 2 lis 2010, o 11:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Standardowa potęga ale zaćmienie mnie przeszło

Post autor: ponurasek »

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{(3+4i)^6}}\)

Trzeba to obliczyć. Jak to trzeba zrobić? Bo chyba nie zapisać jako tylko to co w nawiasie do kwadratu, bo mają być trzy pierwiastki. Trzeba to wpierw podnieść do szóstej, policzyć te kąty kalkulatorem (bo wyjdzie \(\displaystyle{ cos \varphi = \frac{3}{5}}\) i \(\displaystyle{ sin \varphi = \frac{4}{5}}\), i dalej już standardowo?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Standardowa potęga ale zaćmienie mnie przeszło

Post autor: Premislav »

Jest na to bardzo ładny sposób:
jednym z pierwiastków będzie oczywiście \(\displaystyle{ (3+4i)^{2}}\), a pozostałe wyliczysz, mnożąc \(\displaystyle{ (3+4i)^{2}}\) przez pierwiastki zespolone 3. stopnia z jedynki różne od \(\displaystyle{ 1}\).
ponurasek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 2 lis 2010, o 11:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Standardowa potęga ale zaćmienie mnie przeszło

Post autor: ponurasek »

Czyli wyszły mi takie pierwiastki. Coś chyba zepsułem...

\(\displaystyle{ \omega _{1} = 1}\)
\(\displaystyle{ \omega _{2} = \sqrt{3}i - 2}\)
\(\displaystyle{ \omega _{3} = (3+4i)^2}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Standardowa potęga ale zaćmienie mnie przeszło

Post autor: Premislav »

Rzeczywiście, nie za dobrze to wygląda:
\(\displaystyle{ 1=\cos 2k\pi+i\sin 2k\pi, k \in \ZZ}\)
A zatem ze wzoru de Moivre'a pierwiastki trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\) są postaci
\(\displaystyle{ \cos \frac{2}{3}k\pi}\). Kładąc np. \(\displaystyle{ k=0,1,2}\) dostajemy wszystkie trzy, przy czym dla \(\displaystyle{ k=0}\) uzyskamy \(\displaystyle{ 1}\), więc raczej zajmijmy się pozostałymi:
\(\displaystyle{ \cos \frac{2}{3}\pi+i\sin \frac{2}{3}\pi= \frac{1}{2}- \frac{ \sqrt{3} }{2}i \\
\cos \frac{4}{3}\pi+i\sin \frac{4}{3}\pi= -\frac{1}{2}- \frac{ \sqrt{3} }{2}i}\)

I teraz przez nie pomnóż.
ODPOWIEDZ