Postać trygonometryczna

[SuperM4n]

Witam,
Mam problem ze zrozumieniem, w jaki sposób przekształcać nietypowe liczby zespolone do postaci trygonometrycznej. Chodzi mi o równania typu \(\displaystyle{ cos(x) - isin(x)}\) albo \(\displaystyle{ tg (x) + i}\). Chciałbym się głównie skupić na tym drugim przykładzie.

Więc moduł tej liczby to \(\displaystyle{ \sqrt{tg^{2} (x) + 1}}\). Okej, to jest dosyć proste, ale jak to przekształcać dalej? Tj. mam oczywiście np. \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{tg(x)}{\sqrt{tg^{2} (x) + 1}}}\). Próbowałem to podnieś do drugiej potęgi, a następnie jakoś to przekształcić, ale nie wychodziło mi nic sensowego. Czy mógłby ktoś mnie naprowadzić na schemat rozwiązania?

[kerajs]

\(\displaystyle{ \cos (x) - i \sin (x)=\cos (-x)+i\sin (-x)}\)


\(\displaystyle{ \tg (x) + i= \frac{1}{\cos x}(\sin x+ i \cos x)=\frac{1}{\cos x}\left[ \cos( \frac{ \pi }{2}- x) + i \sin ( \frac{ \pi }{2}- x )\right]}\)

[SuperM4n]

Dziękuję bardzo za odpowiedź. O ile na pierwsze mógłbym jeszcze wpaść, tak sądzę iż z drugim miałbym spore problemy. Dziękuję raz jeszcze za pomoc.

[kerajs]

Poniższą postać już prawie uzyskałeś
\(\displaystyle{ \tg (x) + i= \frac{1}{\cos x}(\sin x+ i \cos x)}\)

bo
\(\displaystyle{ \sqrt{\tg ^{2}x+1 }= \sqrt{\frac{\sin ^{2} x +\cos ^{2} x}{\cos ^{2} x} }= \sqrt{\frac{1}{\cos ^{2} x} }= \frac{1}{\left| \cos x\right| }}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{\tg x}{\sqrt{\tg ^{2}x+1 }}= \frac{ \frac{\sin x}{\cos x} }{ \frac{1}{\left| \cos x\right| }} = \sin x \frac{\cos x}{\left| \cos x \right| }}}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{\tg ^{2}x+1 }}= \frac{ 1 }{ \frac{1}{ \left| \cos x\right| }} =\left| \cos x\right|}\)
i stąd postać trygonometryczna
\(\displaystyle{ \tg (x) + i=\sqrt{\tg ^{2}x+1 }(\cos \alpha +i \sin \alpha )=\\= \frac{1}{ \left| \cos x\right| }( \sin x \frac{\cos x}{\left| \cos x \right| }}+ \left| \cos x \right| )=\frac{1}{\cos x}(\sin x+ i \cos x)}\)

Kolejny ruch to wykorzystanie wzorów redukcyjnych dla I ćwiartki.