Przedstaw geometrycznie zbiór

[ponurasek]

\(\displaystyle{ arg (z^{6} ) = \pi}\)
Rozpisałem to ze wzoru Moivre'a i wychodzi tak:

\(\displaystyle{ arg \ [(|z|^{6}) \ (\cos 6\phi + i\sin 6\phi)] = \pi}\)


, ale coś mi to nie rozjaśnia nic.
Jak robić tego rodzaju przykłady? Mam ich tu trochę więcej, ale myślę że jak poznam jakiś sposób, to reszta powinna pójść

[lelel555]

To będą pierwiastki \(\displaystyle{ \sqrt[6]{-1}}\)
jak już uzyskacz te punkty, zaznacz je na płaszczyźnie i potem poprowadź przez nie półproste zaczynające się w \(\displaystyle{ (0,0)}\). Trzeba jeszcze osobno rozpatrzeć sam punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\), bo tam są jakieś konwencje, że albo coś tam, albo coś tam.

[blade]

A nie prościej zapisać \(\displaystyle{ arg(z^6) = 6 arg z}\)
\(\displaystyle{ 6 arg z = \pi \rightarrow arg z = \frac{\pi}{6}}\) ?
a to już łatwo zaznaczyć na płaszczyźnie.

[lelel555]

no nie, zauważ, że jak weźmiesz sobie przykładowo: \(\displaystyle{ z=\cos \frac{-\pi}{6} + \imath \sin \frac{-\pi}{6}}\) to też dostaniesz \(\displaystyle{ \arg{z^6}=\pi}\)

Tam w poście wyżej miał być pierwiastek szóstego stopnia z -1.

[blade]

no nie, zauważ, że jak weźmiesz sobie przykładowo: \(\displaystyle{ z=\cos \frac{-\pi}{6} + \imath \sin \frac{-\pi}{6}}\) to też dostaniesz \(\displaystyle{ \arg{z^6}=\pi}\)

Przecież
\(\displaystyle{ \arg{z^6}=\pi}\) to treść zadania, po drobnych przekształceniach dostajemy \(\displaystyle{ arg z = \frac{\pi}{6}}\)

[lelel555]

ale tu chodzi o argument główny.

Zauważ, że funkcje trygonometryczne są okresowe co \(\displaystyle{ 2\pi}\). Zerknij chociażby na pierwiastkowanie liczb zepsolonych (również wzór de Moivre'a).