Jak wyprowadzić ten wzór - na kolejny pierwiastek?

[Dreamer1x6xX]

Wzór z e-trapezu, chodzi mi o wzór na n`ty pierwiastek, i jeżeli znam jeden pierwiastek, to jest pierwiastek poprzedni razy sumę cosinusa + sinusa z okresu tzn. chodzi mi o ten wzór. Chciałbym go wyprowadzić, bo jak będę chciał go zastosować na kolokwium to nie wiem czy nie będę go musiał wyprowadzić, chociaż jeśli te wyprowadzenie będzie zbyt długawe, to raczej z niego nie skorzystam.

To ten wzór: \(\displaystyle{ \omega_{k}=\omega_{k-1}\left( \cos\frac{2\pi}{n}+isin\frac{2\pi}{n}\right)}\)

A to normalny jakby ktoś nie pamiętał: \(\displaystyle{ \sqrt[n]{x+iy}= \sqrt[n]{|z|}\left( \cos\left( \frac{\phi \cdot 2k\pi}{n}\right) +isin\left( \frac{\phi \cdot 2k\pi}{n}\right) \right) \right)}\)

PS: Wiecie może czy jak korzysta się na kolokwium właśnie z takich alternatywnych metod, to trzeba to wyprowadzać, udowadniać czy co tam jeszcze:P?

[Kaf]

Można to zrobić po prostu podstawiając za \(\displaystyle{ \omega_{k}}\) i \(\displaystyle{ \omega_{k-1}}\) znane wyrażenia i sprawdzić, że wzór rzeczywiście jest prawdziwy. To jest jednak mało ciekawe. Istnieje ciekawsze rozwiązanie, które dodatkowo pomaga zapamiętać i zrozumieć wzór:

1) Czym jest zbiór wszystkich pierwiastków \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia danej liczby \(\displaystyle{ z}\) na płaszczyźnie zespolonej?
2) Zauważ, że \(\displaystyle{ \left| \cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n} \right| = 1}\). Jak geometrycznie interpretujemy mnożenie liczby \(\displaystyle{ z}\) przez liczbę o module 1?

Ukryta treść:    

1) To wierzchołki pewnego \(\displaystyle{ n}\)-kąta foremnego o środku symetrii w zerze.
2) To obrót o liczby \(\displaystyle{ z}\) względem zera o kąt równy argumentowi tej liczby o module 1.

Teraz: \(\displaystyle{ \omega_{k}}\) to \(\displaystyle{ k}\)-ty wierzchołek tego wielokąta foremnego. Co się stanie, jeżeli obrócimy ten wierzchołek o kąt \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{n}}\) (względem zera oczywiście)?