Postać trygonometryczna dylemat.

[Dreamer1x6xX]

Przerabiam kurs e-trapeza, przygotowując się do kolokwium i mam pewien dylemat.

\(\displaystyle{ z=-3}\)
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{(-3)^{2}}=3}\)
\(\displaystyle{ cos\Phi=-1}\)
\(\displaystyle{ sin\Phi=0}\)

Niech będzie II ćwiartka: \(\displaystyle{ \Phi= \pi - ?}\) I tu pytanie wartości cosinusa i sinusa, dla tych wartości odpowiadają jakiemu kątu w radianach, bo jak dla mnie dla \(\displaystyle{ \pi}\) i wtedy:
\(\displaystyle{ \Phi= \pi - \pi = 0}\)

A w tym e-trapezie, po prostu nie biorą nigdy pod uwagi znaku, przy obliczaniu tego kąta i mają \(\displaystyle{ \Phi= \pi - 0 = \pi}\)

Oba są poprawne? Które lepiej stosować?

[Premislav]

Wersja z e-trapeza jest dobra, a Twoja nie, bo w zerze cosinus nie przyjmuje wartości \(\displaystyle{ -1}\), tylko \(\displaystyle{ 1}\).

[Dreamer1x6xX]

Wersja z e-trapeza jest dobra, a Twoja nie, bo w zerze cosinus nie przyjmuje wartości \(\displaystyle{ -1}\), tylko \(\displaystyle{ 1}\).

Więc nigdy nie patrzeć na znak tylko samą wartość?

[Premislav]

Ja w ogóle nie rozumiem, o co Ci chodzi z jakimś znakiem. Skąd Ty wziąłeś to odejmowanie kątów?
Podejrzewam o zbrodnię źle wytłumaczoną/przekręconą regułkę ze szkoły średniej.
PS Może wszystko się rozbija o to, że cosinus i sinus mają okres \(\displaystyle{ 2\pi}\), a Ty pomyliłeś się i liczyłeś z użyciem \(\displaystyle{ \pi}\)?
BTW jak pierwiastkujesz, to nie starcza Ci jeden kąt, bo byś uzyskał jeden pierwiastek, a powinieneś mieć trzy. Skoro stwierdziłeś, że \(\displaystyle{ \pi}\) jest dobrym kątem, to dla dowolnego \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\) \(\displaystyle{ \pi+2k\pi}\) też będzie - i dalej ze wzoru de Moivre'a.

[Dreamer1x6xX]

Ja w ogóle nie rozumiem, o co Ci chodzi z jakimś znakiem. Skąd Ty wziąłeś to odejmowanie kątów?
Podejrzewam o zbrodnię źle wytłumaczoną/przekręconą regułkę ze szkoły średniej.

Chodzi o to, że żeby obliczyć kąt 'phi' trzeba spojrzeć na początku która jest ćwiartka, wzór w danej ćwiartce i odczytać kąt w radianach dla danej wartości dla przykładu.

\(\displaystyle{ z=-2+2j}\)
\(\displaystyle{ |z|=2\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ cos\Phi=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin\Phi=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

W pierwszej wszystkie są dodatnie w drugiej tylko sinus.

[ciach - nieregulaminowy zapis] \(\displaystyle{ \Phi = \pi - \alpha}\)

I teraz w momencie odczytywania kąta w radianach dla wartości:
\(\displaystyle{ -\frac{\sqrt{2}}{2}}\) i:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Nie patrzę już na znaki, tak? - więc \(\displaystyle{ \Phi = \pi - \frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\pi}\)

Bo gdybym patrzył na znak to dla:
\(\displaystyle{ \cos\Phi=-1}\)
\(\displaystyle{ \sin\Phi=0}\)

Musiałbym napisać, że: \(\displaystyle{ \alpha=\Pi}\), bo cosinus '-1' przyjmuje w \(\displaystyle{ \Pi}\)

I wtedy kąt wyszedłby:\(\displaystyle{ \Phi=\pi-\pi=0}\) - co jak wcześniej zauważyłeś nie jest prawdą, więc nie patrzy się na znak tylko na samą wartość, tak?

[Premislav]

\(\displaystyle{ \frac{3}{4} \pi}\) jest dobrym argumentem kątowym. O tym wierszyku radzę zapomnieć, bo lepiej rozumieć, jak się wyraża funkcje trygonometryczne na okręgu jednostkowym (z tego wynika ten wierszyk, ale pewnie rysunek pokazano z raz, a wierszyk pozostał). Proponuję o tym poczytać, narysowałbym Ci, ale nie umiem zamieszczać tu rysunków w taki sposób, żeby nie otrzymać warna.
Przyswoiłeś jakiś algorytm, który jest błędny (lub źle przyswoiłeś prawidłowy, ale to niekoniecznie Twoja "wina"), a ja wciąż nawet nie do końca rozumiem, jak on miałby działać.
Szukasz takiego \(\displaystyle{ \alpha}\), że \(\displaystyle{ \sin \alpha= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \cos \alpha= -\frac{ \sqrt{2} }{2}}\). Myślenie o ćwiartkach nie jest tu takie złe, ale Ty coś bez potrzeby odejmujesz: masz dodatni sinus i ujemny cosinus, tj. II ćwiartka, zastanawiasz się, jakie kąty w II ćwiartce spełniają \(\displaystyle{ \sin \alpha= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\). Można od razu skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \sin \apha=\sin(\pi-\alpha)}\) i z wiedzy, że \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\). Oczywiście jest to kat we właściwej ćwiartce, a teraz zauważ, że z jedynki trygonometrycznej i tego, że w drugiej ćwiartce cosinus jest ujemny od razu masz, że cosinus jest dla wyliczonego \(\displaystyle{ \pi- \frac{\pi}{4}}\) taki, jak chciałeś. Czyli z okresowości sinusa i cosinusa, ostatecznie \(\displaystyle{ \alpha= \frac{3}{4}\pi+2k\pi, k \in \ZZ}\).

[Dreamer1x6xX]

\(\displaystyle{ \frac{3}{4} \pi}\) jest dobrym argumentem kątowym. O tym wierszyku radzę zapomnieć, bo lepiej rozumieć, jak się wyraża funkcje trygonometryczne na okręgu jednostkowym (z tego wynika ten wierszyk, ale pewnie rysunek pokazano z raz, a wierszyk pozostał). Proponuję o tym poczytać, narysowałbym Ci, ale nie umiem zamieszczać tu rysunków w taki sposób, żeby nie otrzymać warna.
Przyswoiłeś jakiś algorytm, który jest błędny (lub źle przyswoiłeś prawidłowy, ale to niekoniecznie Twoja "wina"), a ja wciąż nawet nie do końca rozumiem, jak on miałby działać.
Szukasz takiego \(\displaystyle{ \alpha}\), że \(\displaystyle{ \sin \alpha= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \cos \alpha= -\frac{ \sqrt{2} }{2}}\). Myślenie o ćwiartkach nie jest tu takie złe, ale Ty coś bez potrzeby odejmujesz: masz dodatni sinus i ujemny cosinus, tj. II ćwiartka, zastanawiasz się, jakie kąty w II ćwiartce spełniają \(\displaystyle{ \sin \alpha= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\). Można od razu skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \sin \apha=\sin(\pi-\alpha)}\) i z wiedzy, że \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\). Oczywiście jest to kat we właściwej ćwiartce, a teraz zauważ, że z jedynki trygonometrycznej i tego, że w drugiej ćwiartce cosinus jest ujemny od razu masz, że cosinus jest dla wyliczonego \(\displaystyle{ \pi- \frac{\pi}{4}}\) taki, jak chciałeś. Czyli z okresowości sinusa i cosinusa, ostatecznie \(\displaystyle{ \alpha= \frac{3}{4}\pi+2k\pi, k \in \ZZ}\).

Jednak na potrzeby kolokwium skorzystam ze sprawdzonego sposobu:P Na e-trapezie, mój sposób jak i jego jest taki sam:P
O co dokładnie Ci chodziło z połączeniem tego, że jest w II ćw i 1 trygonometrycznej? Mógłbyś zapisać równanie?:P

I mógłbyś jednak to jakoś mi wytłumaczyć na wykresie kołowym, stwórz wykres w paint, zapisz, wrzuć na jakąś stronę i wyślij link na PW - jakbyś mógł:P