Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiór

[blade]

\(\displaystyle{ Im(z^3)<0}\)
\(\displaystyle{ Im(\left| z\right|^3(\cos3\varphi + i\sin 3\varphi)= \left| z\right|^3 \cdot \sin 3\varphi}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right|^3 \cdot \sin 3\varphi<0}\)
mogę tutaj podzielić przez \(\displaystyle{ \left| z\right|^3}\) i czy wtedy musze rozpatrywać 2 przypadki ?
\(\displaystyle{ \sin 3 \varphi >0 \vee \sin 3\varphi <0}\)
Jak to dalej ruszyć ?

[yorgin]

\(\displaystyle{ |z|^3}\) jest równe zero tylko w jednym przypadku. Gdy ten wykluczysz, możesz spokojnie podzielić nierwóność przez \(\displaystyle{ |z|^3}\). Dostaniejsz jeden przypadek do rzoważenia.

[blade]

a no tak, przecież to jest moduł..
\(\displaystyle{ z \neq 0}\)
wtedy
\(\displaystyle{ sin 3\varphi < 0}\) i w jakim przedziale powinienem to rozpatrywac ? I jak to zrobić?

[yorgin]

Możesz zawsze dla bezpieczeństwa rozważać \(\displaystyle{ \varphi\in\RR}\). A potem wybrać tylko te przedziały, które zawierają się na przykład w \(\displaystyle{ [0,2pi)}\) lub innym przedziale długości \(\displaystyle{ 2\pi}\).

[blade]

Hmm, nie wiem do końca jak się za to zabrać, brać po kolei i podstawiać?
z wykresu wychodzi, że \(\displaystyle{ \sin 3\varphi <0 \Leftrightarrow \varphi \in \left( \frac{\pi}{3}+2k\pi,\frac{2\pi}{3}+2k\pi\right)}\), ale jak poradzić sobie bez wykresu?
Zauważyć, że po prostu sinus jest mniejszy od 0 w przedziale \(\displaystyle{ \left( \pi +2k\pi, 2\pi +2k\pi\right)}\) i podzielić przez 3 ze względu na wartość \(\displaystyle{ 3\varphi}\)?

[yorgin]

A co Ci szkodzi zastosowanie wykresu? Przecież nie jest to zabronione.

Z wykresu źle odczytane wartości.

W metodzie bez wykresu - na tym etapie rozwiązywanie nierówności \(\displaystyle{ \sin x<0}\) powinno być robione "w pamięci". Przedziały są poprawne i poprawna jest myśl dzielenia przez trzy. Reszta jest do doliczenia.

[blade]

ah tak, pewnie chodzi o to, że zapomniałem o podzieleniu przedziału \(\displaystyle{ 2k\pi}\)

\(\displaystyle{ sin 3\varphi <0 \Leftrightarrow \varphi \in \left( \frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3},\frac{2\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}\right)}\)
Teraz dobrze?

[yorgin]

Dobrze. Teraz wyznacz te wszystkie \(\displaystyle{ \varphi}\), które leżą w przedziale argumentów głównych liczby zespolonej, tj \(\displaystyle{ varphiin[0,2pi)}\). I już.

[blade]

\(\displaystyle{ \varphi_{0}=\frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ \varphi_{1}=\pi}\)
\(\displaystyle{ \varphi_{2}=\frac{5\pi}{3}}\)
i na płaszczyźnie będą to proste : pierwsza prosta - I ćwiartka, druga prosta - na osi Re z (\(\displaystyle{ \pi = 180^{\circ}}\)) i trzecia prosta w IV ćwiartce.

[yorgin]

Ok, ale rozwiązanie to nie będą proste, tylko fragmetny płaszczyzny zespolonej zawarte między tymi prostymi w odpowiedni sposób.

[blade]

Ok, ale rozwiązanie to nie będą proste, tylko fragmetny płaszczyzny zespolonej zawarte między tymi prostymi w odpowiedni sposób.

tak, chodzi mi o kąty, nie wiem jak to wyrazić, jedynie mógłbym narysować :>
Dzięki za pomoc