jak policzyć pierwiastki z 1 za pomocą liczb zespolonych?

[kamil_04_07]

Czy może mi ktoś wyjaśnić i policzyć jak mam obliczyć i narysować √ kwadratowy z 1 za pomocą liczb zespolonych? a potem to samo tylko ze pierwiastek 3-go stopnia i 4-stopnia?
te liczby zespolone są dla mnie za trudne :/

[max]

Pierwiastki n-tego stopnia z liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\) obliczamy ze wzoru:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}(\cos \tfrac{\varphi + 2k\pi}{n} + i\sin\tfrac{\varphi + 2k\pi}{n}), \ k = 0, 1, 2, \ldots, n - 1}\)
gdzie \(\displaystyle{ \varphi = \mathrm{Arg} \, z}\)

Dla \(\displaystyle{ z = 1}\) jest
\(\displaystyle{ |z| = |1| = 1\\
\varphi = 0}\)
czyli podstawiając do wzoru:
\(\displaystyle{ \sqrt{1} = \cos 0 + i\sin 0 = 1\\
\sqrt{1} = \cos \pi + i\sin \pi = -1\\
\\
\sqrt[3]{1} = \cos 0 + i\sin 0 = 1\\
\sqrt[3]{1} = {\cos \tfrac{2\pi}{3} + i\sin \tfrac{2\pi}{3}} = -\tfrac{1}{2} + i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\
\sqrt[3]{1} = {\cos \tfrac{4\pi}{3} + i\sin \tfrac{4\pi}{3}} = -\tfrac{1}{2} - i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\
\\
\sqrt[4]{1} = \cos 0 + i\sin 0 = 1\\
\sqrt[4]{1} = \cos\tfrac{\pi}{2} + i \sin\tfrac{\pi}{2} = i\\
\sqrt[4]{1} = \cos \pi + i \sin \pi = -1\\
\sqrt[4]{1} = \cos\tfrac{3\pi}{2} + i \sin\tfrac{3\pi}{2} = -i}\)

Jak to narysować:
Rysujesz układ współrzędnych, zaznaczasz okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu \(\displaystyle{ |z| = 1}\) (ten okrąg można interpretować jako zbiór liczb zespolonych \(\displaystyle{ x + iy}\) takich, że \(\displaystyle{ |x + iy| = 1}\)).
Dalej, poczynając od osi OX, dzielisz okrąg na \(\displaystyle{ n}\) łuków równej długości, gdzie \(\displaystyle{ n}\) to stopień naszego pierwiastka - najpierw odmierzasz łuk odpowiadający kątowi skierowanemu \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{n}}\) i dokładasz do tego dalej \(\displaystyle{ n - 1}\) takich łuków. Końce owych łuków to nasze pierwiastki algebraiczne z jedności.

[kamil_04_07]

a jak to jeszcze zapisać w postaci e do i?dzieki za rozwiazanie.

[max]

Korzystasz z wzoru Eulera:
\(\displaystyle{ e^{ix} = \cos x + i\sin x}\)
dla przykładu na podstawie tego co ustaliliśmy powyżej jest:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{1} \{e^{0}, e^{i\frac{2\pi}{3}}, e^{i\frac{4\pi}{3}}\}}\)